---
route: /task/cke-2023-pp-39
title: Zadanie cke-2023-pp-39
source: CKE 2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2023-pp-39

**Źródło:** CKE 2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dane są okrąg o środku \(S\) oraz prosta \(k\) styczna do okręgu w punkcie \(A\). Odcinek \(AB\) jest cięciwą tego okręgu. Miara kąta ostrego pomiędzy prostą \(k\) a cięciwą \(AB\) jest równa \(50^\circ\). Punkt \(C\) leży na okręgu. Kąt \(\sphericalangle BCA\) jest ostry. Sytuację przedstawia rysunek poniżej. Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta \(\sphericalangle BCA\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 100^\circ \)
- **B.** \( 80^\circ \)
- **C.** \( 50^\circ \)
- **D.** \( 40^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczymy kąt między styczną \(k\) a cięciwą \(AB\) jako \(\alpha = 50^\circ\).

**Krok 1: Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą**

Kąt między styczną do okręgu a cięciwą wychodzącą z punktu styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie (ale od drugiej strony).

Dokładniej: jeśli \(k\) jest styczna w punkcie \(A\), a \(AB\) jest cięciwą, to kąt między \(k\) a \(AB\) wynoszący \(50^\circ\) jest równy kątowi wpisanemu w okrąg opartemu na cięciwie \(AB\).

**Krok 2: Związek z kątem wpisanym**

Zgodnie z twierdzeniem o kącie między styczną a cięciwą:
$$\text{kąt między styczną } k \text{ a cięciwą } AB = \text{kąt wpisany opary na } AB$$

Kąt \(\sphericalangle BCA\) jest kątem wpisanym w okrąg, opartym na cięciwie \(AB\).

**Krok 3: Zastosowanie twierdzenia**

Z twierdzenia wynika, że:
$$\sphericalangle BCA = 50^\circ$$

**Krok 4: Sprawdzenie warunku ostrości**

Zadanie mówi, że kąt \(\sphericalangle BCA\) jest ostry. Wartość \(50^\circ\) rzeczywiście spełnia ten warunek (\(0^\circ < 50^\circ < 90^\circ\)).

**Uwaga:** Gdyby punkt \(C\) leżał po drugiej stronie cięciwy \(AB\), otrzymalibyśmy kąt rozwarty \(180^\circ - 50^\circ = 130^\circ\), ale zadanie wyraźnie stwierdza, że kąt jest ostry.

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2023-pp