---
route: /task/cke-2023-pp-30
title: Zadanie cke-2023-pp-30
source: CKE 2023 PP
category: Ciągi
points: 1
type: open
---

# Zadanie cke-2023-pp-30

**Źródło:** CKE 2023 PP
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dokończ zdanie. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz jej uzasadnienie 1., 2. albo 3. Ciąg \((a_n)\) określony wzorem \(a_n = n^2 - n\) dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\) jest

**Prawidłowa odpowiedź:** A3

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Badamy ciąg \(a_n = n^2 - n\) dla \(n \geq 1\).

## Krok 1: Obliczenie pierwszych wyrazów

$$a_1 = 1^2 - 1 = 0$$
$$a_2 = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$$
$$a_3 = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6$$
$$a_4 = 4^2 - 4 = 16 - 4 = 12$$

## Krok 2: Sprawdzenie monotoniczności

Badamy różnicę \(a_{n+1} - a_n\):

$$a_{n+1} - a_n = [(n+1)^2 - (n+1)] - [n^2 - n]$$

$$= n^2 + 2n + 1 - n - 1 - n^2 + n$$

$$= 2n$$

Ponieważ \(n \geq 1\), to \(2n \geq 2 > 0\).

Zatem \(a_{n+1} - a_n > 0\) dla każdego \(n \geq 1\), co oznacza, że \(a_{n+1} > a_n\).

## Krok 3: Wnioskowanie

Ciąg jest **rosnący** (każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego).

## Krok 4: Uzasadnienie (sprawdzenie wariantu 3)

Różnica kolejnych wyrazów to:
$$a_{n+1} - a_n = 2n$$

Dla \(n = 1\): różnica wynosi \(2 \cdot 1 = 2\)
Dla \(n = 2\): różnica wynosi \(2 \cdot 2 = 4\)
Dla \(n = 3\): różnica wynosi \(2 \cdot 3 = 6\)

Różnice te **nie są stałe** (rosną wraz z \(n\)), więc ciąg **nie jest arytmetyczny**.

**Odpowiedź: A3**

Ciąg jest rosnący, ponieważ różnica \(a_{n+1} - a_n = 2n > 0\), ale nie jest arytmetyczny, bo różnica kolejnych wyrazów nie jest stała.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2023-pp