---
route: /task/cke-2023-pp-17
title: Zadanie cke-2023-pp-17
source: CKE 2023 PP
category: Potęgi i pierwiastki
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2023-pp-17

**Źródło:** CKE 2023 PP
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem \(f(x)=x^3-b-5\sqrt{2}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Miejscem zerowym funkcji \(f\) jest \(x=\sqrt{2}+1\). Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych. Współczynnik \(b\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( b=1 \)
- **B.** \( b=7 \)
- **C.** \( b=1-3\sqrt{2} \)
- **D.** \( b=3-3\sqrt{2} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Skoro \(x = \sqrt{2} + 1\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\), to:

$$f(\sqrt{2} + 1) = 0$$

Podstawia się \(x = \sqrt{2} + 1\) do wzoru funkcji:

$$(\sqrt{2} + 1)^3 - b - 5\sqrt{2} = 0$$

Oblicza się \((\sqrt{2} + 1)^3\) korzystając ze wzoru \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\):

$$(\sqrt{2} + 1)^3 = (\sqrt{2})^3 + 3(\sqrt{2})^2 \cdot 1 + 3\sqrt{2} \cdot 1^2 + 1^3$$

$$= 2\sqrt{2} + 3 \cdot 2 + 3\sqrt{2} + 1$$

$$= 2\sqrt{2} + 6 + 3\sqrt{2} + 1$$

$$= 5\sqrt{2} + 7$$

Podstawia się do równania:

$$5\sqrt{2} + 7 - b - 5\sqrt{2} = 0$$

Upraszcza się:

$$7 - b = 0$$

$$b = 7$$

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2023-pp