---
route: /task/cke-2023-pp-16
title: Zadanie cke-2023-pp-16
source: CKE 2023 PP
category: Funkcja kwadratowa
points: 3
type: open
---

# Zadanie cke-2023-pp-16

**Źródło:** CKE 2023 PP
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest wielomian \[W(x)=3x^3+mx^2+3x-2\] gdzie \(m\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Wiadomo, że ten wielomian można zapisać w postaci iloczynowej: \[W(x)=(x+2)Q(x)\] gdzie \(Q(x)\) jest pewnym trójmianem kwadratowym. Wyznacz wielomian \(Q(x)\) oraz oblicz wszystkie pierwiastki rzeczywiste wielomianu \(W(x)\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(Q(x)=3x^2+2x-1\), \(x_1=-2\), \(x_2=-1\), \(x_3=\frac{1}{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Skoro \(W(x) = (x+2)Q(x)\), to \(x = -2\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\).

## Krok 1: Znajdowanie parametru \(m\)

Podstawia się \(x = -2\) do wielomianu \(W(x)\):

$$W(-2) = 3(-2)^3 + m(-2)^2 + 3(-2) - 2 = 0$$

$$3 \cdot (-8) + m \cdot 4 - 6 - 2 = 0$$

$$-24 + 4m - 8 = 0$$

$$4m = 32$$

$$m = 8$$

Zatem \(W(x) = 3x^3 + 8x^2 + 3x - 2\).

## Krok 2: Wyznaczanie wielomianu \(Q(x)\)

Skoro \(Q(x)\) jest trójmianem kwadratowym, zapisuje się:
$$Q(x) = ax^2 + bx + c$$

Wykonuję dzielenie wielomianu \(W(x)\) przez \((x+2)\):

$$W(x) = (x+2)(ax^2 + bx + c)$$

Mnoży się prawą stronę:
$$(x+2)(ax^2 + bx + c) = ax^3 + bx^2 + cx + 2ax^2 + 2bx + 2c$$

$$= ax^3 + (b + 2a)x^2 + (c + 2b)x + 2c$$

Porównuje się współczynniki z \(W(x) = 3x^3 + 8x^2 + 3x - 2\):

- przy \(x^3\): \(a = 3\)
- przy \(x^2\): \(b + 2a = 8\), więc \(b + 6 = 8\), zatem \(b = 2\)
- przy \(x^1\): \(c + 2b = 3\), więc \(c + 4 = 3\), zatem \(c = -1\)
- wyraz wolny: \(2c = -2\) ✓ (zgadza się)

Stąd: $$Q(x) = 3x^2 + 2x - 1$$

## Krok 3: Znajdowanie wszystkich pierwiastków

Zachodzi: $$W(x) = (x+2)(3x^2 + 2x - 1)$$

Pierwiastki to:
- z czynnika \((x+2)\): \(x_1 = -2\)
- z czynnika \(Q(x) = 3x^2 + 2x - 1\): rozwiązuje się równanie kwadratowe

$$3x^2 + 2x - 1 = 0$$

$$\Delta = 4 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$$

$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6}$$

$$x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

$$x_3 = \frac{-2 - 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$$

## Odpowiedź:

$$Q(x) = 3x^2 + 2x - 1$$

Pierwiastki rzeczywiste wielomianu \(W(x)\): $$x_1 = -2, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = \frac{1}{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2023-pp