---
route: /task/cke-2023-pp-15
title: Zadanie cke-2023-pp-15
source: CKE 2023 PP
category: Liczby rzeczywiste
points: 3
type: open
---

# Zadanie cke-2023-pp-15

**Źródło:** CKE 2023 PP
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozważmy dwie kolejne liczby naturalne \(a\) i \(b\) takie, że obie są niepodzielne przez \(3\). Udowodnij, że liczba \(a^3+b^3\) jest podzielna przez \(9\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Skoro \(a\) i \(b\) to kolejne liczby naturalne niepodzielne przez 3, to musimy przeanalizować możliwe reszty z dzielenia przez 3.

**Krok 1: Analiza reszt modulo 3**

Każda liczba naturalna przy dzieleniu przez 3 daje resztę 0, 1 lub 2.

Ponieważ \(a\) i \(b\) są niepodzielne przez 3, to:
- \(a \equiv 1 \pmod{3}\) lub \(a \equiv 2 \pmod{3}\)
- \(b \equiv 1 \pmod{3}\) lub \(b \equiv 2 \pmod{3}\)

**Krok 2: Warunek kolejności**

Skoro \(a\) i \(b\) są kolejnymi liczbami naturalnymi niepodzielnych przez 3, to \(b = a + 1\) lub \(b = a + 2\).

Przypadek \(b = a + 1\) jest niemożliwy, bo wtedy jedna z nich byłaby podzielna przez 3 (liczby kolejne \(n, n+1, n+2\) zawierają dokładnie jedną liczbę podzielną przez 3).

Zatem **\(b = a + 2\)**.

**Krok 3: Ustalenie reszt**

Skoro \(b = a + 2\) i obie są niepodzielne przez 3:
- Jeśli \(a \equiv 1 \pmod{3}\), to \(b \equiv 0 \pmod{3}\) — sprzeczność
- Jeśli \(a \equiv 2 \pmod{3}\), to \(b \equiv 1 \pmod{3}\) — pasuje!

Więc: \(a \equiv 2 \pmod{3}\) i \(b \equiv 1 \pmod{3}\).

**Krok 4: Zapis liczb**

Zapiszmy:
$$a = 3k + 2 \quad \text{oraz} \quad b = 3k + 4 = 3(k+1) + 1$$

dla pewnego \(k \in \mathbb{N} \cup \{0\}\).

**Krok 5: Obliczenie \(a^3 + b^3\)**

$$a^3 = (3k + 2)^3 = 27k^3 + 54k^2 + 36k + 8$$

$$b^3 = (3k + 4)^3 = 27k^3 + 108k^2 + 144k + 64$$

$$a^3 + b^3 = 54k^3 + 162k^2 + 180k + 72$$

**Krok 6: Wyciągnięcie wspólnego czynnika**

$$a^3 + b^3 = 18(3k^3 + 9k^2 + 10k + 4)$$

Ponieważ \(18 = 2 \cdot 9\), mamy:
$$a^3 + b^3 = 9 \cdot 2(3k^3 + 9k^2 + 10k + 4)$$

**Wniosek:**

Liczba \(a^3 + b^3\) jest podzielna przez 9, co kończy dowód.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2023-pp