---
route: /task/cke-2023-pp-14
title: Zadanie cke-2023-pp-14
source: CKE 2023 PP
category: Liczby rzeczywiste
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2023-pp-14

**Źródło:** CKE 2023 PP
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) liczba \(20n^2+30n+7\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Aby udowodnić, że liczba \(20n^2+30n+7\) przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\), rozpatruje się wyrażenie modulo \(5\).

**Krok 1: Analiza każdego składnika modulo 5**

Rozważę każdy składnik wyrażenia \(20n^2+30n+7\):

- \(20n^2 \equiv 0 \pmod{5}\), ponieważ \(20 = 4 \cdot 5\)
- \(30n \equiv 0 \pmod{5}\), ponieważ \(30 = 6 \cdot 5\)
- \(7 \equiv 2 \pmod{5}\), ponieważ \(7 = 1 \cdot 5 + 2\)

**Krok 2: Obliczenie sumy modulo 5**

$$20n^2 + 30n + 7 \equiv 0 + 0 + 2 \equiv 2 \pmod{5}$$

**Krok 3: Weryfikacja dla przykładowych wartości**

Sprawdza się dla kilku wartości \(n\), aby zilustrować wynik:

- Dla \(n=1\): \(20 \cdot 1 + 30 \cdot 1 + 7 = 57 = 11 \cdot 5 + 2\) ✓
- Dla \(n=2\): \(20 \cdot 4 + 30 \cdot 2 + 7 = 80 + 60 + 7 = 147 = 29 \cdot 5 + 2\) ✓
- Dla \(n=3\): \(20 \cdot 9 + 30 \cdot 3 + 7 = 180 + 90 + 7 = 277 = 55 \cdot 5 + 2\) ✓

**Wniosek:**

Ponieważ \(20n^2 + 30n + 7 \equiv 2 \pmod{5}\) dla każdego \(n \in \mathbb{N}\), liczba \(20n^2+30n+7\) przy dzieleniu przez \(5\) zawsze daje resztę \(2\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2023-pp