---
route: /task/cke-2023-pp-13
title: Zadanie cke-2023-pp-13
source: CKE 2023 PP
category: Równania i nierówności
points: 3
type: open
---

# Zadanie cke-2023-pp-13

**Źródło:** CKE 2023 PP
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 3
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozwiąż równanie \((x-1)^4-5(x-1)^2+6=0\)

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x=1+\sqrt{2}\ \lor \ x=1-\sqrt{2}\ \lor \ x=1+\sqrt{3}\ \lor \ x=1-\sqrt{3},\ \)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Wprowadza się podstawienie, aby uprościć równanie.

Niech \(t = (x-1)^2\), gdzie \(t \geq 0\).

Wtedy \((x-1)^4 = [(x-1)^2]^2 = t^2\).

Podstawia się do równania:
$$t^2 - 5t + 6 = 0$$

**Rozwiązuje się równanie kwadratowe:**

Wyznacza się deltę:
$$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

Oblicza się pierwiastki:
$$t_1 = \frac{5-1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

$$t_2 = \frac{5+1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Oba pierwiastki są dodatnie, więc spełniają warunek \(t \geq 0\).

**Powracam do zmiennej \(x\):**

Dla \(t_1 = 2\):
$$(x-1)^2 = 2$$
$$x - 1 = \pm\sqrt{2}$$
$$x = 1 \pm \sqrt{2}$$

Otrzymuje się: \(x = 1 + \sqrt{2}\) lub \(x = 1 - \sqrt{2}\)

Dla \(t_2 = 3\):
$$(x-1)^2 = 3$$
$$x - 1 = \pm\sqrt{3}$$
$$x = 1 \pm \sqrt{3}$$

Otrzymuje się: \(x = 1 + \sqrt{3}\) lub \(x = 1 - \sqrt{3}\)

**Odpowiedź:**
$$x = 1 + \sqrt{2} \quad \lor \quad x = 1 - \sqrt{2} \quad \lor \quad x = 1 + \sqrt{3} \quad \lor \quad x = 1 - \sqrt{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2023-pp