---
route: /task/cke-2023-pp-12
title: Zadanie cke-2023-pp-12
source: CKE 2023 PP
category: Wyrażenia algebraiczne
points: 1
type: open
---

# Zadanie cke-2023-pp-12

**Źródło:** CKE 2023 PP
**Kategoria:** Wyrażenia algebraiczne
**Punkty:** 1
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dane jest wyrażenie \(W(x)=\frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x-1}{x+1}\right)\) Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Wartość wyrażenia \(W(x)\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\ne 1\). P F Wyrażenie \(W(x)\) można przekształcić równoważnie do wyrażenia \(\frac{2x}{x^2-1}\). P F

**Prawidłowa odpowiedź:** FP

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Zdanie 1: Wartość wyrażenia \(W(x)\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 1\)

Analizuje się dziedzinę wyrażenia \(W(x) = \frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1}\right)\)

Wyrażenie zawiera dwa ułamki:
- \(\frac{x+1}{x-1}\) – mianownik \(x-1 \neq 0\), czyli \(x \neq 1\)
- \(\frac{x-1}{x+1}\) – mianownik \(x+1 \neq 0\), czyli \(x \neq -1\)

Dziedzina: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}\)

Wyrażenie **nie jest** określone dla \(x = -1\), a zdanie mówi tylko o wykluczeniu \(x = 1\).

**Zdanie 1: FAŁSZ (F)**

## Zdanie 2: Wyrażenie \(W(x)\) można przekształcić równoważnie do \(\frac{2x}{x^2-1}\)

Przekształca się wyrażenie \(W(x)\):

$$W(x) = \frac{1}{2}\left(\frac{x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1}\right)$$

Sprowadza się do wspólnego mianownika \((x-1)(x+1)\):

$$W(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x+1)^2 - (x-1)^2}{(x-1)(x+1)}$$

Rozwija się licznik używając wzoru \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\):

$$(x+1)^2 - (x-1)^2 = [(x+1) - (x-1)][(x+1) + (x-1)]$$

$$= [x+1-x+1][x+1+x-1] = 2 \cdot 2x = 4x$$

Podstawia się:

$$W(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4x}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x}{2(x-1)(x+1)} = \frac{2x}{(x-1)(x+1)}$$

Ponieważ \((x-1)(x+1) = x^2 - 1\):

$$W(x) = \frac{2x}{x^2-1}$$

Przekształcenie jest poprawne (obie postaci mają tę samą dziedzinę).

**Zdanie 2: PRAWDA (P)**

---

**Odpowiedź: FP**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/wyrazenia-algebraiczne
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2023-pp