---
route: /task/cke-2015-2023-pp-99
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-99
source: CKE 2015-2023 PP
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-99

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym krótsza przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\beta \) takim, że \(\sin \beta =\frac{2}{\sqrt{7}}\). Oblicz miarę kąta \(\alpha \), jaki tworzy dłuższa przekątna tej bryły z płaszczyzną podstawy.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(45^\circ \)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-99.png]

Oznaczmy bok podstawy graniastosłupa przez \(a\), a wysokość graniastosłupa przez \(H\).

## Krok 2: Analiza podstawy

Podstawą jest sześciokąt foremny o boku \(a\). W sześciokącie foremnym wyróżniamy:
- **krótsza przekątna** łączy wierzchołki odległe o 2 boki (przeskakuje jeden wierzchołek)
- **dłuższa przekątna** łączy wierzchołki przeciwległe (przeskakuje dwa wierzchołki)

## Krok 3: Długości przekątnych podstawy

Dla sześciokąta foremnego o boku \(a\):
- krótsza przekątna: \(d_k = a\sqrt{3}\)
- dłuższa przekątna: \(d_d = 2a\)

## Krok 4: Przekątne graniastosłupa

**Krótsza przekątna graniastosłupa** łączy wierzchołki dolnej i górnej podstawy, które są połączone krótszą przekątną podstawy. Jej długość:
$$D_k = \sqrt{d_k^2 + H^2} = \sqrt{3a^2 + H^2}$$

**Dłuższa przekątna graniastosłupa** łączy wierzchołki dolnej i górnej podstawy, które są połączone dłuższą przekątną podstawy. Jej długość:
$$D_d = \sqrt{d_d^2 + H^2} = \sqrt{4a^2 + H^2}$$

## Krok 5: Kąt nachylenia krótszej przekątnej

Kąt \(\beta\) to kąt między krótszą przekątną graniastosłupa a jej rzutem na podstawę (czyli krótszą przekątną podstawy).

$$\sin \beta = \frac{H}{D_k} = \frac{H}{\sqrt{3a^2 + H^2}}$$

Z warunku \(\sin \beta = \frac{2}{\sqrt{7}}\):

$$\frac{H}{\sqrt{3a^2 + H^2}} = \frac{2}{\sqrt{7}}$$

## Krok 6: Wyznaczenie relacji między \(H\) i \(a\)

Podnosząc do kwadratu obie strony:

$$\frac{H^2}{3a^2 + H^2} = \frac{4}{7}$$

$$7H^2 = 4(3a^2 + H^2)$$

$$7H^2 = 12a^2 + 4H^2$$

$$3H^2 = 12a^2$$

$$H^2 = 4a^2$$

$$H = 2a$$

## Krok 7: Kąt nachylenia dłuższej przekątnej

Kąt \(\alpha\) to kąt między dłuższą przekątną graniastosłupa a jej rzutem na podstawę.

$$\sin \alpha = \frac{H}{D_d} = \frac{H}{\sqrt{4a^2 + H^2}}$$

Podstawiając \(H = 2a\):

$$\sin \alpha = \frac{2a}{\sqrt{4a^2 + 4a^2}} = \frac{2a}{\sqrt{8a^2}} = \frac{2a}{2a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Zatem:
$$\alpha = 45°$$

**Odpowiedź:** Miara kąta \(\alpha = 45°\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp