---
route: /task/cke-2015-2023-pp-98
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-98
source: CKE 2015-2023 PP
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-98

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym krawędź podstawy ma długość \(4\), jest równa \(16\sqrt{6}\) (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(30^\circ \)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-98.png]

## Krok 2: Wyznaczenie wysokości graniastosłupa

Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego:
$$V = P_{podstawy} \cdot H$$

Pole podstawy (trójkąta równobocznego o boku \(a = 4\)):
$$P_{podstawy} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$$

Z danej objętości:
$$16\sqrt{6} = 4\sqrt{3} \cdot H$$
$$H = \frac{16\sqrt{6}}{4\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{\frac{6}{3}} = 4\sqrt{2}$$

## Krok 3: Zidentyfikowanie przekątnej ściany bocznej

Ściana boczna to prostokąt o wymiarach:
- szerokość: \(a = 4\) (krawędź podstawy)
- wysokość: \(H = 4\sqrt{2}\)

Przekątna ściany bocznej:
$$d = \sqrt{a^2 + H^2} = \sqrt{16 + 32} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$

## Krok 4: Ustalenie kąta nachylenia

Niech przekątna należy do ściany bocznej \(S_1\), a szukamy kąta nachylenia tej przekątnej do sąsiedniej ściany bocznej \(S_2\).

Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny wyznaczamy jako kąt między prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę.

## Krok 5: Rzut przekątnej na sąsiednią ścianę

Dwie sąsiednie ściany boczne przecinają się wzdłuż wspólnej krawędzi pionowej (długości \(H = 4\sqrt{2}\)).

Rzutem przekątnej ze ściany \(S_1\) na sąsiednią ścianę \(S_2\) jest odcinek od dolnego końca wspólnej krawędzi do punktu na górnej krawędzi ściany \(S_2\), który jest "naprzeciwko" górnego końca przekątnej.

Ponieważ podstawa jest trójkątem równobocznym, kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi (przy patrzeniu z góry) wynosi \(120°\).

Długość rzutu poziomego wynosi \(a = 4\), ale rzut na sąsiednią ścianę ma długość poziomą równą:
$$a \cdot \cos(60°) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

Długość pełnego rzutu przekątnej na sąsiednią ścianę:
$$d_{rzut} = \sqrt{H^2 + 2^2} = \sqrt{32 + 4} = \sqrt{36} = 6$$

## Krok 6: Obliczenie kąta

Szukany kąt \(\alpha\) spełnia:
$$\sin\alpha = \frac{\text{odległość od ściany}}{d} = \frac{a \cdot \sin(60°)}{d} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$$

Zatem:
$$\alpha = 30°$$

**Odpowiedź: \(30°\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp