---
route: /task/cke-2015-2023-pp-97
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-97
source: CKE 2015-2023 PP
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-97

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wysokość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCDEF\) (zobacz rysunek) jest równa \(8\), a tangens kąta między wysokością trójkąta \(ABF\) poprowadzoną z wierzchołka \(F\) i płaszczyzną podstawy \(ABC\) tego graniastosłupa jest równy \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\). Oblicz pole trójkąta \(ABF\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(4\sqrt{19}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy długość krawędzi podstawy graniastosłupa przez \(a\).

## Krok 1: Ustalenie układu współrzędnych

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma:
- podstawę \(ABC\) (dolna)
- podstawę \(DEF\) (górna)
- wysokość \(h = 8\)

## Krok 2: Analiza trójkąta \(ABF\)

Trójkąt \(ABF\) ma wierzchołki:
- \(A\) i \(B\) w podstawie dolnej
- \(F\) w podstawie górnej

Wysokość tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka \(F\) pada na krawędź \(AB\). Nazwijmy punkt przecięcia \(S\).

## Krok 3: Znajdowanie punktu \(S\)

Ponieważ \(F\) jest nad wierzchołkiem \(C\) (graniastosłup prosty), a trójkąt \(ABC\) jest równoboczny, punkt \(S\) to środek krawędzi \(AB\).

W trójkącie równobocznym o boku \(a\), odległość od wierzchołka do środka przeciwległej krawędzi wynosi (to wysokość trójkąta):
$$h_{ABC} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

Zatem \(CS = \frac{a\sqrt{3}}{2}\).

## Krok 4: Analiza kąta nachylenia

Odcinek \(FS\) to wysokość trójkąta \(ABF\) poprowadzona z \(F\).

Rzut punktu \(F\) na podstawę \(ABC\) to punkt \(C\).

Odcinek \(CS\) to rzut \(FS\) na płaszczyznę podstawy.

Kąt \(\alpha\) między \(FS\) a płaszczyzną podstawy spełnia:
$$\tan\alpha = \frac{CF}{CS} = \frac{h}{CS} = \frac{8}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{16}{a\sqrt{3}}$$

## Krok 5: Obliczenie długości krawędzi podstawy

Z warunku zadania:
$$\frac{16}{a\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$$

$$16 \cdot 3 = a\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3}$$

$$48 = 12a$$

$$a = 4$$

## Krok 6: Obliczenie długości wysokości trójkąta \(ABF\)

Wysokość \(FS\) obliczymy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym \(CFS\):
$$FS = \sqrt{CF^2 + CS^2} = \sqrt{8^2 + \left(\frac{4\sqrt{3}}{2}\right)^2}$$

$$FS = \sqrt{64 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 12} = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}$$

## Krok 7: Obliczenie pola trójkąta \(ABF\)

Pole trójkąta:
$$P = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot FS = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{19} = 4\sqrt{19}$$

**Odpowiedź:** Pole trójkąta \(ABF\) wynosi \(4\sqrt{19}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp