---
route: /task/cke-2015-2023-pp-96
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-96
source: CKE 2015-2023 PP
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-96

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\), którego ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Punkty \(G\), \(E\) i \(F\) są odpowiednio środkami odcinków \(AD\), \(BC\) i \(CS\) (zobacz rysunek). Kątem między przeciwległymi ścianami bocznymi jest kąt

## Odpowiedzi

- **A.** \( DFE \)
- **B.** \( GES \)
- **C.** \( ESG \)
- **D.** \( ASC \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Analizuje się geometrię ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ze ścianami bocznymi będącymi trójkątami równobocznymi.

## Krok 1: Ustalenie notacji i własności ostrosłupa

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS ma:
- Podstawę ABCD - kwadrat
- Wierzchołek S
- Ściany boczne: △ABS, △BCS, △CDS, △DAS - wszystkie równoboczne

Oznaczmy długość krawędzi podstawy jako \(a\). Ponieważ ściany boczne są równoboczne, wszystkie krawędzie boczne również mają długość \(a\).

## Krok 2: Identyfikacja przeciwległych ścian bocznych

Przeciwległe ściany boczne to:
- △ABS i △CDS
- △BCS i △DAS

## Krok 3: Analiza punktów G, E, F

- \(G\) - środek \(AD\) (krawędź podstawy)
- \(E\) - środek \(BC\) (krawędź podstawy)
- \(F\) - środek \(CS\) (krawędź boczna)

## Krok 4: Definicja kąta między płaszczyznami

Kąt między dwiema płaszczyznami mierzymy jako kąt między prostymi prostopadłymi do krawędzi wspólnej (lub równoległej do wspólnej krawędzi), leżącymi w obu płaszczyznach.

Weźmy ściany △BCS i △DAS (przeciwległe).

## Krok 5: Znalezienie odpowiednich prostych

W płaszczyźnie ściany △BCS:
- Punkt \(E\) to środek \(BC\)
- Prosta \(SE\) jest wysokością trójkąta równobocznego △BCS opuszczoną z \(S\) na \(BC\)
- \(SE \perp BC\)

W płaszczyźnie ściany △DAS:
- Punkt \(G\) to środek \(AD\)
- Prosta \(SG\) jest wysokością trójkąta równobocznego △DAS opuszczoną z \(S\) na \(AD\)
- \(SG \perp AD\)

## Krok 6: Kluczowa obserwacja

Ponieważ \(ABCD\) jest kwadratem:
- \(BC \parallel AD\)
- \(E\) to środek \(BC\), \(G\) to środek \(AD\)

Jeśli \(SE \perp BC\) i \(SG \perp AD\), oraz \(BC \parallel AD\), to:
- Obie proste \(SE\) i \(SG\) są prostopadłe do równoległych krawędzi
- Kąt \(\angle ESG\) (lub równoważnie \(\angle GSE\)) jest kątem między płaszczyznami ścian △BCS i △DAS

## Krok 7: Weryfikacja odpowiedzi

Kąt między przeciwległymi ścianami bocznymi to kąt \(\angle ESG\), co zapisujemy jako \(ESG\).

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp