---
route: /task/cke-2015-2023-pp-95
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-95
source: CKE 2015-2023 PP
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-95

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Podstawą graniastosłupa prostego czworokątnego \(ABCDEFGH\) jest kwadrat \(ABCD\) (zobacz rysunek). Kąt \(AHC\) między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych ma \(50^\circ \). Kąt \(DBG\) między przekątną podstawy a przekątną ściany bocznej jest równy

## Odpowiedzi

- **A.** \( 60^\circ \)
- **B.** \( 65^\circ \)
- **C.** \( 75^\circ \)
- **D.** \( 80^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Analizuje się graniastosłup prosty o podstawie kwadratowej.

## Ustalenie układu współrzędnych

Przyjmuje się układ współrzędnych z wierzchołkiem \(A\) w początku:
- \(A = (0, 0, 0)\)
- \(B = (a, 0, 0)\)
- \(C = (a, a, 0)\)
- \(D = (0, a, 0)\)
- \(E = (0, 0, h)\)
- \(F = (a, 0, h)\)
- \(G = (a, a, h)\)
- \(H = (0, a, h)\)

gdzie \(a\) to bok podstawy, \(h\) to wysokość graniastosłupa.

## Znalezienie zależności z kąta \(\angle AHC = 50°\)

Oblicza się wektory:
- \(\vec{HA} = A - H = (0, 0, 0) - (0, a, h) = (0, -a, -h)\)
- \(\vec{HC} = C - H = (a, a, 0) - (0, a, h) = (a, 0, -h)\)

Iloczyn skalarny:
$$\vec{HA} \cdot \vec{HC} = 0 \cdot a + (-a) \cdot 0 + (-h) \cdot (-h) = h^2$$

Długości wektorów:
$$|\vec{HA}| = \sqrt{0^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$$
$$|\vec{HC}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$$

Ze wzoru na kąt między wektorami:
$$\cos(50°) = \frac{h^2}{a^2 + h^2}$$

## Obliczenie kąta \(\angle DBG\)

Oblicza się wektory:
- \(\vec{BD} = D - B = (0, a, 0) - (a, 0, 0) = (-a, a, 0)\)
- \(\vec{BG} = G - B = (a, a, h) - (a, 0, 0) = (0, a, h)\)

Iloczyn skalarny:
$$\vec{BD} \cdot \vec{BG} = (-a) \cdot 0 + a \cdot a + 0 \cdot h = a^2$$

Długości wektorów:
$$|\vec{BD}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0} = a\sqrt{2}$$
$$|\vec{BG}| = \sqrt{0 + a^2 + h^2} = \sqrt{a^2 + h^2}$$

Kąt \(\alpha = \angle DBG\):
$$\cos \alpha = \frac{a^2}{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{a^2 + h^2}} = \frac{a}{\sqrt{2(a^2 + h^2)}}$$

## Wyrażenie przez \(\cos(50°)\)

Z wcześniejszego wyniku: \(h^2 = (a^2 + h^2) \cos(50°)\)

Podstawia się do wzoru na \(\cos \alpha\):
$$\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{2(a^2 + h^2)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{a^2 + h^2}}$$

Podnosi się do kwadratu:
$$\cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{a^2 + h^2}$$

Ponieważ \(\frac{h^2}{a^2 + h^2} = \cos(50°)\), to:
$$\frac{a^2}{a^2 + h^2} = 1 - \cos(50°)$$

Zatem:
$$\cos^2 \alpha = \frac{1 - \cos(50°)}{2}$$

Ze wzoru: \(\sin^2(25°) = \frac{1 - \cos(50°)}{2}\)

Więc: \(\cos^2 \alpha = \sin^2(25°)\)

Stąd: \(\cos \alpha = \sin(25°) = \cos(65°)\)

Zatem: \(\alpha = 65°\)

**Odpowiedź: B**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp