---
route: /task/cke-2015-2023-pp-93
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-93
source: CKE 2015-2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-93

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Punkt \(P\) leży wewnątrz trójkąta o wierzchołkach \(A=(6,0)\), \(B=(0,4)\), \(C=(0,0)\). Oznaczmy przez \(P_{AC}\) obraz punktu \(P\) w symetrii osiowej względem prostej \(AC\), a przez \(P_{BC}\) obraz punktu \(P\) w symetrii osiowej względem prostej \(BC\). Uzasadnij, że punkty \(P_{AC}\), \(C\) i \(P_{BC}\) leżą na jednej prostej.

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że punkty \(P_{AC}\), \(C\) i \(P_{BC}\) leżą na jednej prostej

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Rozwiązam to zadanie, analizując położenie punktów symetrycznych względem boków trójkąta.

## Analiza sytuacji

Trójkąt ma wierzchołki:
- \(C = (0,0)\) - początek układu współrzędnych
- \(A = (6,0)\) - na osi \(OX\)
- \(B = (0,4)\) - na osi \(OY\)

Boki trójkąta to:
- \(AC\) leży na osi \(OX\)
- \(BC\) leży na osi \(OY\)

## Kluczowa obserwacja

Punkt \(C\) jest wspólnym wierzchołkiem boków \(AC\) i \(BC\), a te boki są prostopadłe (kąt przy \(C\) wynosi \(90°\)).

## Symetria względem \(AC\)

Prosta \(AC\) to oś \(OX\) (równanie: \(y = 0\)).

Dla punktu \(P = (x, y)\), jego obraz w symetrii względem osi \(OX\) to:
$$P_{AC} = (x, -y)$$

## Symetria względem \(BC\)

Prosta \(BC\) to oś \(OY\) (równanie: \(x = 0\)).

Dla punktu \(P = (x, y)\), jego obraz w symetrii względem osi \(OY\) to:
$$P_{BC} = (-x, y)$$

## Sprawdzenie współliniowości

Punkty \(P_{AC}\), \(C\) i \(P_{BC}\) leżą na jednej prostej, jeśli wektory \(\overrightarrow{CP_{AC}}\) i \(\overrightarrow{CP_{BC}}\) są równoległe.

Oblicza się wektory:
$$\overrightarrow{CP_{AC}} = P_{AC} - C = (x, -y) - (0, 0) = (x, -y)$$

$$\overrightarrow{CP_{BC}} = P_{BC} - C = (-x, y) - (0, 0) = (-x, y)$$

## Warunek równoległości

Wektory są równoległe, gdy:
$$\overrightarrow{CP_{BC}} = \lambda \cdot \overrightarrow{CP_{AC}}$$

Sprawdza się:
$$(-x, y) = \lambda(x, -y)$$

Z pierwszej współrzędnej: \(-x = \lambda x\), więc \(\lambda = -1\)

Z drugiej współrzędnej: \(y = \lambda(-y) = -(-y) = y\) ✓

Otrzymujemy \(\lambda = -1\), co oznacza, że:
$$\overrightarrow{CP_{BC}} = -\overrightarrow{CP_{AC}}$$

## Geometryczna interpretacja

Ponieważ \(\overrightarrow{CP_{BC}} = -\overrightarrow{CP_{AC}}\), punkty \(P_{AC}\) i \(P_{BC}\) leżą po przeciwnych stronach punktu \(C\) na tej samej prostej.

**Wniosek:** Punkty \(P_{AC}\), \(C\) i \(P_{BC}\) leżą na jednej prostej dla dowolnego punktu \(P\) wewnątrz trójkąta \(ABC\). Co więcej, punkt \(C\) jest środkiem odcinka \(P_{AC}P_{BC}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp