---
route: /task/cke-2015-2023-pp-92
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-92
source: CKE 2015-2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 6
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-92

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 6
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trapez równoramienny \(ABCD\), niebędący równoległobokiem, w którym \(AB||CD\) oraz \(A=(-9,7)\), \(B=(3,1)\), \(D=(-3,10)\). Trapez \(A_1B_1C_1D_1\) jest obrazem trapezu \(ABCD\) w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych. Wyznacz współrzędne wierzchołków trapezu \(A_1B_1C_1D_1\) oraz równanie osi symetrii tego trapezu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(y=2x-10\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-92.png]

## Krok 2: Znajdowanie wierzchołka C trapezu ABCD

Trapez jest równoramienny, więc \(|AD| = |BC|\).

Oblicza się długość ramienia \(AD\):
$$|AD| = \sqrt{(-3-(-9))^2 + (10-7)^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

Ponieważ \(AB \parallel CD\), wektor \(\overrightarrow{AB}\) jest równoległy do \(\overrightarrow{DC}\).

$$\overrightarrow{AB} = (3-(-9), 1-7) = (12, -6)$$

Punkt \(C\) spełnia warunek:
$$\overrightarrow{DC} = k \cdot \overrightarrow{AB} = k(12, -6)$$

dla pewnego \(k > 0\) (oraz \(k \neq 1\), bo trapez nie jest równoległobokiem).

Jeśli \(C = (x, y)\), to:
$$\overrightarrow{DC} = (x-(-3), y-10) = (x+3, y-10) = (12k, -6k)$$

Zatem:
- \(x = 12k - 3\)
- \(y = -6k + 10\)

Z warunku \(|BC| = |AD| = 3\sqrt{5}\):
$$|BC|^2 = (x-3)^2 + (y-1)^2 = 45$$

Podstawia się:
$$(12k-3-3)^2 + (-6k+10-1)^2 = 45$$
$$(12k-6)^2 + (-6k+9)^2 = 45$$
$$144k^2 - 144k + 36 + 36k^2 - 108k + 81 = 45$$
$$180k^2 - 252k + 117 = 45$$
$$180k^2 - 252k + 72 = 0$$
$$15k^2 - 21k + 6 = 0$$
$$5k^2 - 7k + 2 = 0$$

$$k = \frac{7 \pm \sqrt{49-40}}{10} = \frac{7 \pm 3}{10}$$

Mamy \(k = 1\) lub \(k = \frac{2}{5}\).

Ponieważ trapez nie jest równoległobokiem, \(k = \frac{2}{5}\).

Zatem:
$$C = (12 \cdot \frac{2}{5} - 3, -6 \cdot \frac{2}{5} + 10) = (\frac{24}{5} - 3, -\frac{12}{5} + 10) = (-\frac{3}{5}, \frac{38}{5})$$

## Krok 3: Wyznaczanie wierzchołków trapezu A₁B₁C₁D₁

Symetria środkowa względem \(O(0,0)\) przekształca punkt \((x,y)\) w punkt \((-x,-y)\).

$$A_1 = (9, -7)$$
$$B_1 = (-3, -1)$$
$$C_1 = (\frac{3}{5}, -\frac{38}{5})$$
$$D_1 = (3, -10)$$

## Krok 4: Wyznaczanie osi symetrii trapezu A₁B₁C₁D₁

Oś symetrii trapezu równoramiennego przechodzi przez środki podstaw.

Środek podstawy \(A_1B_1\):
$$S_1 = \left(\frac{9+(-3)}{2}, \frac{-7+(-1)}{2}\right) = (3, -4)$$

Środek podstawy \(C_1D_1\):
$$S_2 = \left(\frac{\frac{3}{5}+3}{2}, \frac{-\frac{38}{5}+(-10)}{2}\right) = \left(\frac{\frac{18}{5}}{2}, \frac{-\frac{88}{5}}{2}\right) = \left(\frac{9}{5}, -\frac{44}{5}\right)$$

Oś symetrii przechodzi przez punkty \(S_1(3, -4)\) i \(S_2\left(\frac{9}{5}, -\frac{44}{5}\right)\).

Współczynnik kierunkowy:
$$a = \frac{-\frac{44}{5}-(-4)}{\frac{9}{5}-3} = \frac{-\frac{44}{5}+\frac{20}{5}}{\frac{9}{5}-\frac{15}{5}} = \frac{-\frac{24}{5}}{-\frac{6}{5}} = 2$$

Równanie prostej przez \(S_1(3, -4)\) o współczynniku \(a=2\):
$$y - (-4) = 2(x - 3)$$
$$y + 4 = 2x - 6$$
$$y = 2x - 10$$

**Odpowiedź:** Wierzchołki: \(A_1(9,-7)\), \(B_1(-3,-1)\), \(C_1\left(\frac{3}{5},-\frac{38}{5}\right)\), \(D_1(3,-10)\)

Równanie osi symetrii: \(y = 2x - 10\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp