---
route: /task/cke-2015-2023-pp-91
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-91
source: CKE 2015-2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-91

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Prosta \(y = 0\) jest osią symetrii figury złożonej z dwóch prostych o równaniach \(y=(p+2)x-q\) i \(y=(q-5)x+2p\). Wyznacz \(p\) i \(q\). Narysuj te proste w układzie współrzędnych.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(p=1\), \(q=2\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Analiza warunku symetrii

Prosta \(y = 0\) (oś \(Ox\)) jest osią symetrii figury złożonej z dwóch prostych. Oznacza to, że te proste są symetryczne względem osi \(Ox\).

Dwie proste są symetryczne względem osi \(Ox\), gdy:
- mają przeciwne współczynniki kierunkowe (nachylenia)
- mają przeciwne wyrazy wolne

## Wypisanie warunków

Dla prostych:
- \(y_1 = (p+2)x - q\) - współczynnik kierunkowy: \(a_1 = p+2\), wyraz wolny: \(b_1 = -q\)
- \(y_2 = (q-5)x + 2p\) - współczynnik kierunkowy: \(a_2 = q-5\), wyraz wolny: \(b_2 = 2p\)

Warunki symetrii względem osi \(Ox\):

$$a_1 = -a_2$$

$$b_1 = -b_2$$

## Podstawienie do warunków

Z pierwszego warunku:
$$p + 2 = -(q - 5)$$
$$p + 2 = -q + 5$$
$$p + q = 3$$

Z drugiego warunku:
$$-q = -2p$$
$$q = 2p$$

## Rozwiązanie układu równań

Mamy układ:
$$\begin{cases} p + q = 3 \\ q = 2p \end{cases}$$

Podstawiamy drugie równanie do pierwszego:
$$p + 2p = 3$$
$$3p = 3$$
$$p = 1$$

Zatem:
$$q = 2 \cdot 1 = 2$$

## Sprawdzenie

Dla \(p = 1\) i \(q = 2\):
- Prosta 1: \(y = (1+2)x - 2 = 3x - 2\)
- Prosta 2: \(y = (2-5)x + 2 \cdot 1 = -3x + 2\)

Sprawdzenie symetrii:
- Współczynniki kierunkowe: \(3\) i \(-3\) ✓ (przeciwne)
- Wyrazy wolne: \(-2\) i \(2\) ✓ (przeciwne)

## Wykres

```
      y
      |
    2 |-------●-------
      |      /:\      
    1 |     / : \     
      |    /  :  \    
   ---+---/---+---\---+--- x
   -1 |  /    :    \  |
      | /     :     \ |
   -2 |●------:------●
      |       0       
```

Na wykresie:
- **Prosta 1** (niebieska): \(y = 3x - 2\)
  - przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0, -2)\)
  - przecina oś \(Ox\) w punkcie \((\frac{2}{3}, 0)\)
  
- **Prosta 2** (czerwona): \(y = -3x + 2\)
  - przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0, 2)\)
  - przecina oś \(Ox\) w punkcie \((\frac{2}{3}, 0)\)

Obie proste przecinają się na osi \(Ox\) w tym samym punkcie i są symetryczne względem osi \(Ox\).

**Odpowiedź:** \(p = 1\), \(q = 2\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp