---
route: /task/cke-2015-2023-pp-90
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-90
source: CKE 2015-2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-90

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Trójkąt o wierzchołkach \(A=(-6,0)\), \(B=(6,4)\) i \(C=(-3,-8)\) przekształcono przez symetrię środkową względem początku układu współrzędnych i otrzymano trójkąt \(A_1B_1C_1\). Oblicz sumę kątów wewnętrznych wielokąta, który jest częścią wspólną trójkąta \(ABC\) i jego obrazu, tj. \(A_1B_1C_1\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(720^\circ \)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Rozwiązuje się zadanie krok po kroku.

## Krok 1: Znajdźmy współrzędne wierzchołków trójkąta A₁B₁C₁

Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych przekształca punkt \((x, y)\) na punkt \((-x, -y)\).

$$A_1 = (6, 0)$$
$$B_1 = (-6, -4)$$
$$C_1 = (3, 8)$$

## Krok 2: Sprawdźmy wzajemne położenie trójkątów

Trójkąt \(ABC\) ma wierzchołki: \(A=(-6,0)\), \(B=(6,4)\), \(C=(-3,-8)\)

Trójkąt \(A_1B_1C_1\) ma wierzchołki: \(A_1=(6,0)\), \(B_1=(-6,-4)\), \(C_1=(3,8)\)

## Krok 3: Znajdźmy równania boków trójkątów

Szukamy punktów przecięcia boków obu trójkątów.

**Bok AB:** od \((-6,0)\) do \((6,4)\)
Równanie: $$y = \frac{4-0}{6-(-6)}(x+6) = \frac{1}{3}(x+6) = \frac{x}{3} + 2$$

**Bok A₁B₁:** od \((6,0)\) do \((-6,-4)\)
Równanie: $$y = \frac{-4-0}{-6-6}(x-6) = \frac{-4}{-12}(x-6) = \frac{x}{3} - 2$$

**Bok BC:** od \((6,4)\) do \((-3,-8)\)
Równanie: $$y = \frac{-8-4}{-3-6}(x-6) = \frac{-12}{-9}(x-6) = \frac{4}{3}(x-6) = \frac{4x}{3} - 8$$

**Bok B₁C₁:** od \((-6,-4)\) do \((3,8)\)
Równanie: $$y = \frac{8-(-4)}{3-(-6)}(x+6) = \frac{12}{9}(x+6) = \frac{4}{3}(x+6) = \frac{4x}{3} + 8$$

## Krok 4: Znajdźmy punkty przecięcia

Część wspólna powstaje z przecięć boków obu trójkątów.

**Przecięcie AB i A₁B₁:**
$$\frac{x}{3} + 2 = \frac{x}{3} - 2$$
Równanie sprzeczne - boki są równoległe.

**Przecięcie AB i B₁C₁:**
$$\frac{x}{3} + 2 = \frac{4x}{3} + 8$$
$$\frac{x}{3} - \frac{4x}{3} = 6$$
$$-x = 6 \implies x = -6, \quad y = 0$$
Punkt \(A = (-6, 0)\) ✓

**Przecięcie BC i A₁B₁:**
$$\frac{4x}{3} - 8 = \frac{x}{3} - 2$$
$$\frac{3x}{3} = 6 \implies x = 6, \quad y = 0$$
Punkt \(A_1 = (6, 0)\) ✓

**Przecięcie BC i B₁C₁:**
$$\frac{4x}{3} - 8 = \frac{4x}{3} + 8$$
Równanie sprzeczne - boki są równoległe.

## Krok 5: Analiza wielokąta

Ze względu na symetrię środkową i przecięcia boków, część wspólna to **sześciokąt**. Symetria środkowa oraz fakt, że mamy dwie pary równoległych boków (AB∥A₁B₁ i BC∥B₁C₁) sugerują, że wielokąt ma 6 wierzchołków.

## Krok 6: Suma kątów wewnętrznych

Dla wielokąta o \(n\) wierzchołkach suma kątów wewnętrznych wynosi:
$$S = (n-2) \cdot 180°$$

Dla sześciokąta (\(n = 6\)):
$$S = (6-2) \cdot 180° = 4 \cdot 180° = 720°$$

**Odpowiedź: \(720°\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp