---
route: /task/cke-2015-2023-pp-89
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-89
source: CKE 2015-2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-89

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Punkt \(M=(2,1)\) jest środkiem boku \(AB\), a punkt \(N=(8,3)\) to środek boku \(BC\) kwadratu \(ABCD\). Oblicz długość boku kwadratu \(ABCD\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(4\sqrt{5}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Rozwiązuje się zadanie wykorzystując własności środków boków kwadratu.

**Krok 1: Ustalenie położenia punktów**

Oznaczmy wierzchołki kwadratu: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) (w kolejności).

Dane:
- \(M = (2, 1)\) - środek boku \(AB\)
- \(N = (8, 3)\) - środek boku \(BC\)

**Krok 2: Wyrażenie współrzędnych wierzchołków**

Niech \(A = (x_A, y_A)\), \(B = (x_B, y_B)\), \(C = (x_C, y_C)\).

Ze wzoru na środek odcinka:

$$M = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = (2, 1)$$

$$N = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) = (8, 3)$$

**Krok 3: Wprowadzenie wektorów**

Niech \(\vec{AB} = (p, q)\) - wektor boku \(AB\).

Wtedy \(B = A + \vec{AB}\), czyli:
$$M = A + \frac{1}{2}\vec{AB} = \left(x_A + \frac{p}{2}, y_A + \frac{q}{2}\right) = (2, 1)$$

W kwadracie bok \(BC\) jest prostopadły do \(AB\) i ma tę samą długość.

Wektor prostopadły do \((p, q)\) to \((-q, p)\), zatem:
$$\vec{BC} = (-q, p)$$

**Krok 4: Wyrażenie punktu N**

$$N = B + \frac{1}{2}\vec{BC} = A + \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BC}$$

$$N = A + (p, q) + \frac{1}{2}(-q, p) = A + \left(p - \frac{q}{2}, q + \frac{p}{2}\right)$$

$$N = \left(x_A + p - \frac{q}{2}, y_A + q + \frac{p}{2}\right) = (8, 3)$$

**Krok 5: Układ równań**

Z punktu \(M\):
- \(x_A + \frac{p}{2} = 2\) → \(x_A = 2 - \frac{p}{2}\)
- \(y_A + \frac{q}{2} = 1\) → \(y_A = 1 - \frac{q}{2}\)

Z punktu \(N\):
- \(x_A + p - \frac{q}{2} = 8\)
- \(y_A + q + \frac{p}{2} = 3\)

**Krok 6: Podstawienie i rozwiązanie**

Podstawia się \(x_A = 2 - \frac{p}{2}\) do pierwszego równania z \(N\):

$$2 - \frac{p}{2} + p - \frac{q}{2} = 8$$

$$2 + \frac{p}{2} - \frac{q}{2} = 8$$

$$p - q = 12 \quad \text{...(1)}$$

Podstawia się \(y_A = 1 - \frac{q}{2}\) do drugiego równania z \(N\):

$$1 - \frac{q}{2} + q + \frac{p}{2} = 3$$

$$1 + \frac{q}{2} + \frac{p}{2} = 3$$

$$p + q = 4 \quad \text{...(2)}$$

**Krok 7: Rozwiązanie układu**

Dodaje się równania (1) i (2):
$$2p = 16 \implies p = 8$$

Z równania (2):
$$q = 4 - 8 = -4$$

**Krok 8: Obliczenie długości boku**

Długość boku kwadratu to długość wektora \(\vec{AB} = (8, -4)\):

$$|\vec{AB}| = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$$

**Odpowiedź:** Długość boku kwadratu wynosi \(4\sqrt{5}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp