---
route: /task/cke-2015-2023-pp-88
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-88
source: CKE 2015-2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-88

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest sześciokąt foremny \(ABCDEF\), którego środkiem symetrii jest punkt \(O=(3,-\sqrt{3})\), a wierzchołek \(A\) ma współrzędne \(A=(1,-3\sqrt{3})\). Wiadomo, że punkt \(P=(4,-2\sqrt{3})\) jest środkiem odcinka \(BO\). Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków tego sześciokąta.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(A = (1 ; -3\sqrt{3})\)\(B = (5 ; -3\sqrt{3})\)\(C = (7 ; -\sqrt{3})\)\(D = (5 ; \sqrt{3})\)\(E = (1 ; \sqrt{3})\)\(F = (-1 ; -\sqrt{3})\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-88.png]

## Krok 2: Znajdź współrzędne wierzchołka B

Jeśli punkt \(P=(4,-2\sqrt{3})\) jest środkiem odcinka \(BO\), to:

$$P = \frac{B + O}{2}$$

Podstawiając dane \(O=(3,-\sqrt{3})\) i \(P=(4,-2\sqrt{3})\):

$$(4,-2\sqrt{3}) = \frac{B + (3,-\sqrt{3})}{2}$$

Mnożąc obie strony przez 2:

$$(8,-4\sqrt{3}) = B + (3,-\sqrt{3})$$

Zatem:

$$B = (8,-4\sqrt{3}) - (3,-\sqrt{3}) = (5,-3\sqrt{3})$$

## Krok 3: Znajdź promień i kąt dla wierzchołka A

Obliczamy odległość \(|OA|\):

$$|OA| = \sqrt{(1-3)^2 + (-3\sqrt{3}-(-\sqrt{3}))^2} = \sqrt{4 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = 4$$

Kąt wierzchołka \(A\) względem środka \(O\):

$$\vec{OA} = (1-3, -3\sqrt{3}+\sqrt{3}) = (-2, -2\sqrt{3})$$

$$\alpha_A = \arctan\left(\frac{-2\sqrt{3}}{-2}\right) = \arctan(\sqrt{3})$$

Ponieważ obie współrzędne są ujemne, punkt leży w III ćwiartce:

$$\alpha_A = 180° + 60° = 240°$$

## Krok 4: Sprawdź kąt dla wierzchołka B

$$\vec{OB} = (5-3, -3\sqrt{3}+\sqrt{3}) = (2, -2\sqrt{3})$$

$$|OB| = \sqrt{4 + 12} = 4 \quad \checkmark$$

$$\alpha_B = \arctan\left(\frac{-2\sqrt{3}}{2}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -60° = 300°$$

Różnica: \(300° - 240° = 60°\), co potwierdza, że \(B\) jest kolejnym wierzchołkiem.

## Krok 5: Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków

W sześciokącie foremnym kolejne wierzchołki są odległe o \(60°\). Wzór na wierzchołek pod kątem \(\alpha\):

$$V = O + 4(\cos\alpha, \sin\alpha) = (3 + 4\cos\alpha, -\sqrt{3} + 4\sin\alpha)$$

**Wierzchołek C** (\(\alpha_C = 360° = 0°\)):
$$C = (3 + 4\cdot 1, -\sqrt{3} + 4\cdot 0) = (7, -\sqrt{3})$$

**Wierzchołek D** (\(\alpha_D = 60°\)):
$$D = (3 + 4\cdot\frac{1}{2}, -\sqrt{3} + 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}) = (3 + 2, -\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = (5, \sqrt{3})$$

**Wierzchołek E** (\(\alpha_E = 120°\)):
$$E = (3 + 4\cdot(-\frac{1}{2}), -\sqrt{3} + 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}) = (3 - 2, -\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = (1, \sqrt{3})$$

**Wierzchołek F** (\(\alpha_F = 180°\)):
$$F = (3 + 4\cdot(-1), -\sqrt{3} + 4\cdot 0) = (3 - 4, -\sqrt{3}) = (-1, -\sqrt{3})$$

## Odpowiedź końcowa

$$\boxed{\begin{align}
A &= (1, -3\sqrt{3})\\
B &= (5, -3\sqrt{3})\\
C &= (7, -\sqrt{3})\\
D &= (5, \sqrt{3})\\
E &= (1, \sqrt{3})\\
F &= (-1, -\sqrt{3})
\end{align}}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp