---
route: /task/cke-2015-2023-pp-87
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-87
source: CKE 2015-2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-87

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Prosta \(l\) przecina okrąg o środku \(S\) w punktach \(A=\left(1-\sqrt{2},-\frac{1}{8}\right)\) i \(B=\left(1+\sqrt{2},-\frac{3}{8}\right)\). Punkt \(S\) leży na prostej \(l\). Sprawdź, czy punkt \(S\) leży na prostej \(k\) o równaniu \(x − 4 y = 0\).

**Prawidłowa odpowiedź:** nie

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-87.png]

Trzeba znaleźć środek okręgu \(S\), wiedząc że:
- Prosta \(l\) przecina okrąg w punktach \(A\) i \(B\)
- Punkt \(S\) leży na prostej \(l\)

## Krok 2: Znajdźmy równanie prostej \(l\)

Prosta przechodzi przez punkty \(A=(1-\sqrt{2}, -\frac{1}{8})\) i \(B=(1+\sqrt{2}, -\frac{3}{8})\).

Współczynnik kierunkowy:
$$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-\frac{3}{8} - (-\frac{1}{8})}{(1+\sqrt{2}) - (1-\sqrt{2})} = \frac{-\frac{2}{8}}{2\sqrt{2}} = \frac{-\frac{1}{4}}{2\sqrt{2}} = \frac{-1}{8\sqrt{2}} = \frac{-\sqrt{2}}{16}$$

Równanie prostej \(l\) przez punkt \(A\):
$$y - (-\frac{1}{8}) = \frac{-\sqrt{2}}{16}(x - (1-\sqrt{2}))$$

## Krok 3: Wyznaczmy środek \(S\) okręgu

Środek okręgu \(S\) jest równoodległy od punktów \(A\) i \(B\), więc leży na symetralnej odcinka \(AB\).

Środek odcinka \(AB\):
$$M = \left(\frac{(1-\sqrt{2})+(1+\sqrt{2})}{2}, \frac{-\frac{1}{8}+(-\frac{3}{8})}{2}\right) = \left(1, -\frac{1}{4}\right)$$

Ponieważ \(S\) leży na prostej \(l\) przechodzącej przez \(A\) i \(B\), oraz \(S\) jest środkiem okręgu (równoodległy od \(A\) i \(B\)), to \(S\) musi być środkiem cięciwy \(AB\).

Warunek: Jeśli środek okręgu leży na cięciwie, to ta cięciwa musi być średnicą.

Sprawdzenie: Punkt \(S\) jako środek okręgu leży na prostej \(l\) tylko wtedy, gdy \(AB\) jest średnicą, więc:
$$S = M = \left(1, -\frac{1}{4}\right)$$

## Krok 4: Sprawdźmy, czy \(S\) leży na prostej \(k: x - 4y = 0\)

Podstawiamy współrzędne punktu \(S = (1, -\frac{1}{4})\) do równania prostej \(k\):
$$x - 4y = 1 - 4 \cdot (-\frac{1}{4}) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$$

Ponieważ \(2 \neq 0\), punkt \(S\) **nie leży** na prostej \(k\).

**Odpowiedź: NIE**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp