---
route: /task/cke-2015-2023-pp-85
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-85
source: CKE 2015-2023 PP
category: Funkcja liniowa
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-85

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Funkcja liniowa
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Różnica współczynników kierunkowych dwóch prostych jest równa różnicy odwrotności tych współczynników. Uzasadnij, że te proste są prostopadłe albo równoległe.

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że proste są prostopadłe albo równoległe

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy współczynniki kierunkowe dwóch prostych jako \(a\) i \(b\).

Zapisujemy warunek z treści zadania:
$$a - b = \frac{1}{a} - \frac{1}{b}$$

**Krok 1: Przekształcenie prawej strony**

Sprowadzamy prawo stronę do wspólnego mianownika:
$$a - b = \frac{b - a}{ab}$$

**Krok 2: Wyłączenie czynnika**

Zauważamy, że \(b - a = -(a - b)\):
$$a - b = \frac{-(a - b)}{ab}$$

**Krok 3: Przeniesiemy wszystko na lewą stronę**

$$a - b + \frac{a - b}{ab} = 0$$

Wyłączamy wspólny czynnik \((a - b)\):
$$(a - b)\left(1 + \frac{1}{ab}\right) = 0$$

Możemy też zapisać:
$$(a - b) \cdot \frac{ab + 1}{ab} = 0$$

**Krok 4: Analiza iloczynu**

Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest zerem.

**Przypadek 1:** \(a - b = 0\)

Wtedy \(a = b\), co oznacza, że **proste są równoległe** (mają takie same współczynniki kierunkowe).

**Przypadek 2:** \(\frac{ab + 1}{ab} = 0\)

To zachodzi, gdy \(ab + 1 = 0\), czyli:
$$ab = -1$$

Warunek \(ab = -1\) to warunek prostopadłości dwóch prostych o współczynnikach kierunkowych \(a\) i \(b\).

Zatem **proste są prostopadłe**.

---

**Wniosek:** Jeśli różnica współczynników kierunkowych dwóch prostych jest równa różnicy odwrotności tych współczynników, to proste te są albo równoległe (\(a = b\)), albo prostopadłe (\(ab = -1\)).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-liniowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp