---
route: /task/cke-2015-2023-pp-84
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-84
source: CKE 2015-2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-84

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dwa boki trójkąta prostokątnego \(ABC\) są zawarte w prostych o równaniach \(y = 2x − 3\) oraz \(y=\frac{1}{4}x-\frac{5}{4}\). Wyznacz równanie prostej, która przechodzi przez punkt \(K=(4,-2)\) i zawiera trzeci bok trójkąta \(ABC\). Rozważ wszystkie możliwości.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(y=-\frac{1}{2}x\) lub \(y=-4x+14\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-84.png]

## Analiza danych

Mamy dwa boki trójkąta prostokątnego zawarte w prostych:
- \(l_1: y = 2x - 3\) (współczynnik kierunkowy \(a_1 = 2\))
- \(l_2: y = \frac{1}{4}x - \frac{5}{4}\) (współczynnik kierunkowy \(a_2 = \frac{1}{4}\))

## Sprawdzenie prostopadłości

Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi \(-1\):

$$a_1 \cdot a_2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \neq -1$$

Zatem proste \(l_1\) i \(l_2\) **nie są prostopadłe**.

## Możliwe konfiguracje

Skoro kąt prosty nie jest między danymi bokami, trzeci bok musi być prostopadły do jednego z nich. Mamy dwie możliwości:

### **Przypadek 1:** Trzeci bok prostopadły do \(l_1\)

Prosta prostopadła do \(l_1\) (o współczynniku \(a_1 = 2\)) ma współczynnik kierunkowy:

$$a_3 = -\frac{1}{a_1} = -\frac{1}{2}$$

Równanie prostej przechodzącej przez \(K = (4, -2)\) o współczynniku \(-\frac{1}{2}\):

$$y - (-2) = -\frac{1}{2}(x - 4)$$

$$y + 2 = -\frac{1}{2}x + 2$$

$$y = -\frac{1}{2}x$$

**Weryfikacja:** Czy ta prosta może tworzyć trójkąt z \(l_1\) i \(l_2\)?
- Musi przecinać obie proste \(l_1\) i \(l_2\) w różnych punktach
- Sprawdzamy, że \(y = -\frac{1}{2}x\) nie jest równoległa do \(l_2\) (współczynniki \(-\frac{1}{2} \neq \frac{1}{4}\)) ✓

### **Przypadek 2:** Trzeci bok prostopadły do \(l_2\)

Prosta prostopadła do \(l_2\) (o współczynniku \(a_2 = \frac{1}{4}\)) ma współczynnik kierunkowy:

$$a_3 = -\frac{1}{a_2} = -\frac{1}{\frac{1}{4}} = -4$$

Równanie prostej przechodzącej przez \(K = (4, -2)\) o współczynniku \(-4\):

$$y - (-2) = -4(x - 4)$$

$$y + 2 = -4x + 16$$

$$y = -4x + 14$$

**Weryfikacja:** Czy ta prosta może tworzyć trójkąt z \(l_1\) i \(l_2\)?
- Sprawdzamy, że \(y = -4x + 14\) nie jest równoległa do \(l_1\) (współczynniki \(-4 \neq 2\)) ✓

## Odpowiedź

Istnieją dwa równania prostych zawierających trzeci bok trójkąta \(ABC\):

$$\boxed{y = -\frac{1}{2}x}$$

oraz

$$\boxed{y = -4x + 14}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp