---
route: /task/cke-2015-2023-pp-83
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-83
source: CKE 2015-2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-83

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na kwadracie, którego jeden z boków jest zawarty w prostej o równaniu \(y=2x-2\), a punkt \(A=(1,5)\) jest jego wierzchołkiem. Rozważ wszystkie przypadki.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\left ( \frac{3}{2}, \frac{7}{2} \right )\) lub \(\left ( \frac{5}{2}, \frac{11}{2} \right )\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Krok 1. Sprawdzenie położenia punktu \(A\).

Po podstawieniu \(x=1\) do równania prostej:

$$2\cdot 1-2=0\neq 5$$

Punkt \(A\) nie leży na tej prostej, więc jest jednym z dwóch wierzchołków kwadratu leżących poza bokiem zawartym w prostej.

Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.

Bok kwadratu jest równy odległości punktu \(A\) od prostej \(2x-y-2=0\):

$$a=\frac{|2\cdot 1-5-2|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$$

Krok 3. Wyznaczenie sąsiedniego wierzchołka na prostej.

Rzut prostokątny punktu \(A\) na prostą leży na prostej prostopadłej do niej, przechodzącej przez \(A\). Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy \(-\frac{1}{2}\):

$$y=-\frac{1}{2}(x-1)+5=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}$$

Po przyrównaniu do równania danej prostej:

$$2x-2=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}$$

$$\frac{5}{2}x=\frac{15}{2}\quad\Rightarrow\quad x=3,\quad y=4$$

Rzutem jest punkt \(P=(3,4)\), a jego odległość od \(A\) wynosi \(\sqrt{5}\), czyli dokładnie tyle, ile bok kwadratu. Odcinek \(AP\) jest więc bokiem, a \(P\) sąsiednim wierzchołkiem.

Krok 4. Wyznaczenie drugiego wierzchołka na prostej.

Wektor o długości \(\sqrt{5}\) równoległy do prostej to \(\vec{u}=[1,2]\). Drugi wierzchołek leżący na prostej powstaje przez odłożenie tego wektora od punktu \(P\) w jedną albo w drugą stronę, co daje dwa przypadki.

Krok 5. Przypadek pierwszy.

$$Q=P+\vec{u}=(3+1,\ 4+2)=(4,6)$$

Środek okręgu opisanego na kwadracie leży w środku przekątnej \(AQ\):

$$S_1=\left(\frac{1+4}{2},\ \frac{5+6}{2}\right)=\left(\frac{5}{2},\ \frac{11}{2}\right)$$

Krok 6. Przypadek drugi.

$$Q'=P-\vec{u}=(3-1,\ 4-2)=(2,2)$$

$$S_2=\left(\frac{1+2}{2},\ \frac{5+2}{2}\right)=\left(\frac{3}{2},\ \frac{7}{2}\right)$$

**Odpowiedź:** \(\left(\frac{3}{2},\ \frac{7}{2}\right)\) lub \(\left(\frac{5}{2},\ \frac{11}{2}\right)\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp