---
route: /task/cke-2015-2023-pp-82
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-82
source: CKE 2015-2023 PP
category: Planimetria
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-82

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\) taki, że kąty przy wierzchołkach \(A\) i \(D\) są proste oraz \(|AB|=10\), \(|DC|=6\), a przekątna \(AC\) jest dwa razy dłuższa od ramienia \(DA\). Na podstawie \(AB\) obrano taki punkt \(X\), że \(|CX|=|CB|\) (zobacz rysunek). Oblicz sinus kąta \(XCB\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{4\sqrt{3}}{7}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczymy \(|DA| = h\), gdzie \(h > 0\).

## Krok 1: Znajdźmy wysokość trapezu

Umieszczamy trapez w układzie współrzędnych:
- \(A = (0, 0)\)
- \(B = (10, 0)\)
- \(D = (0, h)\)
- \(C = (6, h)\)

Z warunku \(|AC| = 2|DA|\) mamy:

$$|AC| = 2h$$

Obliczamy długość przekątnej \(AC\):

$$|AC| = \sqrt{6^2 + h^2} = \sqrt{36 + h^2}$$

Zatem:

$$\sqrt{36 + h^2} = 2h$$

Podnosząc do kwadratu:

$$36 + h^2 = 4h^2$$

$$36 = 3h^2$$

$$h^2 = 12$$

$$h = 2\sqrt{3}$$

## Krok 2: Obliczmy długość \(|CB|\)

$$|CB| = \sqrt{(10-6)^2 + (0-h)^2} = \sqrt{16 + h^2} = \sqrt{16 + 12} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$$

## Krok 3: Znajdźmy współrzędne punktu \(X\)

Punkt \(X\) leży na podstawie \(AB\), więc \(X = (x, 0)\) dla pewnego \(x \in [0, 10]\).

Z warunku \(|CX| = |CB| = 2\sqrt{7}\):

$$|CX| = \sqrt{(x-6)^2 + h^2} = 2\sqrt{7}$$

$$(x-6)^2 + 12 = 28$$

$$(x-6)^2 = 16$$

$$x - 6 = \pm 4$$

Otrzymujemy \(x = 10\) lub \(x = 2\).

Ponieważ \(x = 10\) daje punkt \(B\), a potrzebujemy innego punktu, więc \(X = (2, 0)\).

## Krok 4: Obliczmy sinus kąta \(XCB\)

Mamy:
- \(C = (6, 2\sqrt{3})\)
- \(X = (2, 0)\)
- \(B = (10, 0)\)

Obliczamy wektory:

$$\vec{CX} = (2-6, 0-2\sqrt{3}) = (-4, -2\sqrt{3})$$

$$\vec{CB} = (10-6, 0-2\sqrt{3}) = (4, -2\sqrt{3})$$

Iloczyn skalarny:

$$\vec{CX} \cdot \vec{CB} = (-4)(4) + (-2\sqrt{3})(-2\sqrt{3}) = -16 + 12 = -4$$

Długości:

$$|\vec{CX}| = \sqrt{16 + 12} = 2\sqrt{7}$$

$$|\vec{CB}| = 2\sqrt{7}$$

Kosinus kąta:

$$\cos(\angle XCB) = \frac{-4}{2\sqrt{7} \cdot 2\sqrt{7}} = \frac{-4}{28} = -\frac{1}{7}$$

Sinus kąta (kąt jest rozwarty):

$$\sin(\angle XCB) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle XCB)} = \sqrt{1 - \frac{1}{49}} = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{48}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$$

**Odpowiedź:** \(\sin(\angle XCB) = \dfrac{4\sqrt{3}}{7}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp