---
route: /task/cke-2015-2023-pp-81
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-81
source: CKE 2015-2023 PP
category: Planimetria
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-81

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W trójkącie \(ABC\) o bokach długości \(|AC|=b\), \(|BC|=a\) i kącie między nimi \(60^\circ \) poprowadzono dwusieczną kąta \(ACB\), która przecięła bok \(AB\) w punkcie \(D\). Zapisz długość odcinka \(CD\) w zależności od \(a\) i \(b\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{3}ab}{a+b}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

**Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.**

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-81.png]

Oznaczmy długość dwusiecznej \(|CD| = d\).

**Krok 2: Wzór na długość dwusiecznej**

Dla dwusiecznej kąta \(\gamma\) w trójkącie o bokach \(a\), \(b\) (tworzących ten kąt) oraz długości dwusiecznej \(d\), obowiązuje wzór:

$$d = \frac{2ab \cos(\gamma/2)}{a+b}$$

W naszym przypadku: \(\gamma = \angle ACB = 60°\), więc \(\gamma/2 = 30°\).

**Krok 3: Podstawienie danych**

Podstawiamy do wzoru:

$$d = \frac{2ab \cos(30°)}{a+b}$$

**Krok 4: Obliczenie \(\cos(30°)\)**

Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych:

$$\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

**Krok 5: Obliczenie długości dwusiecznej**

$$d = \frac{2ab \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{a+b}$$

$$d = \frac{ab\sqrt{3}}{a+b}$$

**Odpowiedź:**

$$|CD| = \frac{\sqrt{3}ab}{a+b}$$

---

**Uwaga:** Wzór na długość dwusiecznej można wyprowadzić z twierdzenia cosinusów. Po podziale trójkąta \(ABC\) dwusieczną na dwa mniejsze trójkąty, wykorzystując twierdzenie o dwusiecznej (podział boku \(AB\) w stosunku \(b:a\)) oraz twierdzenie cosinusów w jednym z otrzymanych trójkątów, otrzymuje się powyższy wzór.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp