---
route: /task/cke-2015-2023-pp-80
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-80
source: CKE 2015-2023 PP
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-80

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Na rysunku przedstawiono trapez \(ABCD\) oraz zaznaczono wysokości \(DE\) i \(CF\) tego trapezu. Punkt \(F\) jest środkiem podstawy \(AB\), a punkt \(E\) dzieli tę podstawę w stosunku \(2:5\). Wykaż, że punkt przecięcia wysokości \(CF\) z przekątną \(DB\) dzieli tę przekątną w stosunku \(3:7\), licząc od wierzchołka \(D\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że punkt dzieli przekątną w stosunku \(3:7\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Wprowadza się układ współrzędnych z początkiem w punkcie \(A\), osią \(x\) wzdłuż podstawy \(AB\).

## Ustalenie współrzędnych punktów

Niech \(|AB| = a\). Ponieważ \(F\) jest środkiem \(AB\):
$$F = \left(\frac{a}{2}, 0\right)$$

Punkt \(E\) dzieli \(AB\) w stosunku \(2:5\), więc:
$$|AE| : |EB| = 2:5$$
$$|AE| = \frac{2}{7}a, \quad E = \left(\frac{2a}{7}, 0\right)$$

Wysokości \(DE\) i \(CF\) są prostopadłe do \(AB\), więc są pionowe:
- \(D\) leży nad \(E\): \(D = \left(\frac{2a}{7}, h\right)\) dla pewnej wysokości \(h > 0\)
- \(C\) leży nad \(F\): \(C = \left(\frac{a}{2}, h\right)\)

Punkt \(B\) ma współrzędne: \(B = (a, 0)\)

## Weryfikacja, że ABCD jest trapezem

Podstawy trapezu to \(AB\) i \(DC\).

Wektor \(\overrightarrow{DC}\):
$$\overrightarrow{DC} = C - D = \left(\frac{a}{2} - \frac{2a}{7}, 0\right) = \left(\frac{3a}{14}, 0\right)$$

Wektor \(\overrightarrow{AB}\):
$$\overrightarrow{AB} = (a, 0)$$

Wektory są równoległe (oba poziome), więc \(DC \parallel AB\). ✓

## Równanie przekątnej DB

Przekątna \(DB\) łączy punkty \(D = \left(\frac{2a}{7}, h\right)\) i \(B = (a, 0)\).

Parametryzacja odcinka \(DB\):
$$P(t) = D + t(B - D) = \left(\frac{2a}{7}, h\right) + t\left(\frac{5a}{7}, -h\right)$$
$$P(t) = \left(\frac{2a}{7} + \frac{5at}{7}, h(1-t)\right), \quad t \in [0,1]$$

## Równanie wysokości CF

Wysokość \(CF\) to pionowa prosta przez \(F\):
$$x = \frac{a}{2}$$

## Punkt przecięcia K

Punkt \(K\) przecięcia \(CF\) z \(DB\) spełnia:
$$\frac{2a}{7} + \frac{5at}{7} = \frac{a}{2}$$

$$\frac{2 + 5t}{7} = \frac{1}{2}$$

$$2(2 + 5t) = 7$$

$$4 + 10t = 7$$

$$t = \frac{3}{10}$$

## Stosunek podziału

Dla \(t = \frac{3}{10}\) punkt \(K\) dzieli odcinek \(DB\):
$$|DK| : |KB| = t : (1-t) = \frac{3}{10} : \frac{7}{10} = 3:7$$

## Wniosek

Punkt przecięcia wysokości \(CF\) z przekątną \(DB\) dzieli tę przekątną w stosunku \(3:7\), licząc od wierzchołka \(D\). ∎

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp