---
route: /task/cke-2015-2023-pp-79
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-79
source: CKE 2015-2023 PP
category: Planimetria
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-79

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym przyprostokątna \(AC\) ma długość \(12\). Punkt \(E\) jest środkiem przeciwprostokątnej \(AB\), spodek \(D\) wysokości \(CD\) leży między punktami \(A\) i \(E\), a odległość między punktami \(D\) i \(E\) jest równa \(1\) (zobacz rysunek). Oblicz obwód tego trójkąta.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(30+6\sqrt{5}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy długości boków trójkąta prostokątnego \(ABC\):
- \(AC = 12\) (dana przyprostokątna)
- \(BC = a\) (druga przyprostokątna)
- \(AB = c\) (przeciwprostokątna)

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$c^2 = 144 + a^2$$

## Krok 1: Punkt \(E\) jako środek przeciwprostokątnej

Punkt \(E\) jest środkiem \(AB\), więc \(AE = EB = \frac{c}{2}\).

**Własność**: W trójkącie prostokątnym środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego, więc:
$$CE = \frac{c}{2}$$

## Krok 2: Wysokość \(CD\)

Wysokość opuszczona z kąta prostego na przeciwprostokątną ma długość:
$$CD = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{12a}{c}$$

## Krok 3: Położenie punktu \(D\)

Punkt \(D\) dzieli przeciwprostokątną \(AB\). Z własności wysokości:
$$AD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{144}{c}$$

## Krok 4: Warunek \(DE = 1\)

Punkt \(D\) leży między \(A\) i \(E\), więc:
$$DE = AE - AD = \frac{c}{2} - \frac{144}{c} = 1$$

Mnożymy obie strony przez \(2c\):
$$c^2 - 288 = 2c$$
$$c^2 - 2c - 288 = 0$$

## Krok 5: Rozwiązanie równania kwadratowego

$$c = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 1152}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{1156}}{2} = \frac{2 \pm 34}{2}$$

Ponieważ \(c > 0\):
$$c = \frac{36}{2} = 18$$

## Krok 6: Obliczenie długości \(a\)

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$18^2 = 144 + a^2$$
$$324 = 144 + a^2$$
$$a^2 = 180$$
$$a = \sqrt{180} = \sqrt{36 \cdot 5} = 6\sqrt{5}$$

## Krok 7: Weryfikacja

Sprawdzamy czy \(D\) leży między \(A\) i \(E\):
- \(AD = \frac{144}{18} = 8\)
- \(AE = \frac{18}{2} = 9\)
- \(DE = 9 - 8 = 1\) ✓

Ponieważ \(8 < 9\), punkt \(D\) rzeczywiście leży między \(A\) i \(E\).

## Obliczenie obwodu

$$\text{Obwód} = AC + BC + AB = 12 + 6\sqrt{5} + 18 = 30 + 6\sqrt{5}$$

**Odpowiedź: \(30 + 6\sqrt{5}\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp