---
route: /task/cke-2015-2023-pp-78
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-78
source: CKE 2015-2023 PP
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-78

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Odcinki \(AD\) i \(BE\) przecinają się w punkcie \(C\). W trójkątach \(ABC\) i \(CDE\) zachodzą związki: \(|\sphericalangle CAB|=|\sphericalangle CED|\), \(|AC|=5\), \(|BC|=3\), \(|CE|=10\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty \(ABC\) i \(CDE\) są podobne. Oblicz długość boku \(CD\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(6\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Rozwiązujemy krok po kroku.

## Krok 1: Analiza danych

Mamy dane:
- \(|AC| = 5\)
- \(|BC| = 3\)
- \(|CE| = 10\)
- \(|\angle CAB| = |\angle CED|\)

## Krok 2: Wykazanie podobieństwa trójkątów

Zauważmy, że kąty wierzchołkowe przy punkcie \(C\) są równe:

$$|\angle ACB| = |\angle DCE|$$

(jako kąty wierzchołkowe)

Mamy więc:
- \(|\angle CAB| = |\angle CED|\) (z treści zadania)
- \(|\angle ACB| = |\angle DCE|\) (kąty wierzchołkowe)

Na podstawie cechy kąt-kąt (kk) trójkąty \(ABC\) i \(CDE\) są podobne:

$$\triangle ABC \sim \triangle CDE$$

## Krok 3: Ustalenie odpowiedniości wierzchołków

Z podobieństwa \(\triangle ABC \sim \triangle CDE\) wynika odpowiedniość:
- \(A \leftrightarrow C\)
- \(B \leftrightarrow D\)
- \(C \leftrightarrow E\)

## Krok 4: Wyznaczenie skali podobieństwa

Z podobieństwa trójkątów mamy proporcję odpowiadających sobie boków:

$$\frac{|AC|}{|CE|} = \frac{|BC|}{|CD|} = \frac{|AB|}{|DE|}$$

Podstawiamy znane wartości:

$$\frac{5}{10} = \frac{3}{|CD|}$$

$$\frac{1}{2} = \frac{3}{|CD|}$$

## Krok 5: Obliczenie długości \(CD\)

Z proporcji:

$$|CD| = 3 \cdot 2 = 6$$

## Sprawdzenie

Skala podobieństwa wynosi \(k = \frac{|CE|}{|AC|} = \frac{10}{5} = 2\).

Rzeczywiście: \(|CD| = k \cdot |BC| = 2 \cdot 3 = 6\) ✓

**Odpowiedź: Długość boku \(CD\) wynosi \(6\).**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp