---
route: /task/cke-2015-2023-pp-77
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-77
source: CKE 2015-2023 PP
category: Planimetria
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-77

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Pole trójkąta \(ABC\) równe jest \(S\). Każdy bok trójkąta podzielono w stosunku \(x : y : x\), gdzie \(x\) i \(y\) są pewnymi liczbami dodatnimi. Wyznacz pole sześciokąta, którego wierzchołkami są punkty podziałów boków trójkąta (zobacz rysunek).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(S\left (1-3\left (\frac{x}{2x+y}\right )^2\right )\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczymy wierzchołki trójkąta jako \(A\), \(B\), \(C\), a punkty podziału boków jako:
- na boku \(AB\): punkty \(D\) i \(E\)
- na boku \(BC\): punkty \(F\) i \(G\)
- na boku \(CA\): punkty \(H\) i \(I\)

**Krok 1: Interpretacja podziału**

Każdy bok dzielimy w stosunku \(x : y : x\), co oznacza:
- od wierzchołka odległość \(x\)
- następnie odcinek długości \(y\)
- na końcu odległość \(x\) do następnego wierzchołka

Suma: \(x + y + x = 2x + y\)

**Krok 2: Współrzędne barycentryczne**

Dla boku \(AB\):
- punkt \(D\) dzieli \(AB\) tak, że \(|AD| : |DB| = x : (y+x)\)
- punkt \(E\) dzieli \(AB\) tak, że \(|AE| : |EB| = (x+y) : x\)

**Krok 3: Pole narożnych trójkątów**

Sześciokąt powstaje po "odcięciu" trzech narożnych trójkątów od trójkąta \(ABC\).

Rozważmy trójkąt przy wierzchołku \(A\) o wierzchołkach \(A\), \(D\) (na \(AB\)), \(I\) (na \(CA\)).

Punkt \(D\): \(\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{x}{2x+y}\)

Punkt \(I\): \(\frac{|AI|}{|AC|} = \frac{x}{2x+y}\)

**Krok 4: Wzór na pole trójkąta narożnego**

Pole trójkąta \(ADI\) w stosunku do pola trójkąta \(ABC\):

$$\frac{P_{ADI}}{P_{ABC}} = \frac{|AD|}{|AB|} \cdot \frac{|AI|}{|AC|} \cdot \sin(\angle DAI) \cdot \frac{1}{\sin(\angle BAC)}$$

Ponieważ \(\angle DAI = \angle BAC\), otrzymujemy:

$$\frac{P_{ADI}}{S} = \frac{|AD|}{|AB|} \cdot \frac{|AI|}{|AC|} = \frac{x}{2x+y} \cdot \frac{x}{2x+y} = \left(\frac{x}{2x+y}\right)^2$$

Zatem:
$$P_{ADI} = S \cdot \left(\frac{x}{2x+y}\right)^2$$

**Krok 5: Suma pól trzech narożnych trójkątów**

Z symetrii podziału każdy z trzech narożnych trójkątów (przy wierzchołkach \(A\), \(B\), \(C\)) ma takie samo pole:

$$P_{\text{3 trójkąty}} = 3 \cdot S \cdot \left(\frac{x}{2x+y}\right)^2 = 3S\left(\frac{x}{2x+y}\right)^2$$

**Krok 6: Pole sześciokąta**

Pole sześciokąta otrzymujemy odejmując od pola całego trójkąta sumę pól trzech narożnych trójkątów:

$$P_{\text{sześciokąt}} = S - 3S\left(\frac{x}{2x+y}\right)^2$$

$$P_{\text{sześciokąt}} = S\left(1 - 3\left(\frac{x}{2x+y}\right)^2\right)$$

**Odpowiedź:** Pole sześciokąta wynosi \(S\left(1 - 3\left(\frac{x}{2x+y}\right)^2\right)\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp