---
route: /task/cke-2015-2023-pp-76
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-76
source: CKE 2015-2023 PP
category: Planimetria
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-76

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dane są dwa okręgi styczne wewnętrznie: okrąg \(O_1\) o środku \(S\) i promieniu równym \(6\) oraz okrąg \(O_2\) o środku \(T\) i promieniu długości \(2\). Z punktu \(S\) poprowadzono półproste styczne do okręgu \(O_2\) w punktach \(K\) i \(L\). Oblicz pole czworokąta \(SKTL\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(4\sqrt{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-76.png]

Oznaczmy promienie okręgów: $$r_1 = 6, \quad r_2 = 2$$

## Krok 2: Odległość między środkami okręgów

Okręgi są styczne wewnętrznie, więc mniejszy okrąg znajduje się wewnątrz większego. Odległość między środkami wynosi:
$$|ST| = r_1 - r_2 = 6 - 2 = 4$$

## Krok 3: Analiza stycznych

Półproste \(SK\) i \(SL\) są styczne do okręgu \(O_2\), gdzie \(K\) i \(L\) to punkty styczności.

Ponieważ promień okręgu jest prostopadły do stycznej w punkcie styczności:
$$TK \perp SK \quad \text{oraz} \quad TL \perp SL$$

## Krok 4: Obliczenie długości stycznej

W trójkącie prostokątnym \(STK\) (kąt prosty przy \(K\)):
- \(|ST| = 4\) (przeciwprostokątna)
- \(|TK| = 2\) (przyprostokątna - promień)
- \(|SK| = ?\) (przyprostokątna - szukana długość)

Z twierdzenia Pitagorasa:
$$|SK|^2 + |TK|^2 = |ST|^2$$
$$|SK|^2 + 4 = 16$$
$$|SK|^2 = 12$$
$$|SK| = 2\sqrt{3}$$

Analogicznie: \(|SL| = 2\sqrt{3}\)

## Krok 5: Pole czworokąta SKTL

Czworokąt \(SKTL\) składa się z dwóch przystających trójkątów prostokątnych: \(STK\) i \(STL\).

Pole trójkąta \(STK\):
$$P_{STK} = \frac{1}{2} \cdot |SK| \cdot |TK| = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 2 = 2\sqrt{3}$$

Pole czworokąta:
$$P_{SKTL} = 2 \cdot P_{STK} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** Pole czworokąta \(SKTL\) wynosi \(4\sqrt{3}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp