---
route: /task/cke-2015-2023-pp-75
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-75
source: CKE 2015-2023 PP
category: Planimetria
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-75

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dwa okręgi o promieniach \(r\) i \(R\) są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej w punktach \(A\) i \(B\) (zobacz rysunek). Oblicz wartość iloczynu \(rR\), jeżeli wiadomo, że odcinek \(AB\) ma długość \(5\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{25}{4}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczymy środki okręgów jako \(O_1\) (okrąg o promieniu \(r\)) i \(O_2\) (okrąg o promieniu \(R\)).

## Krok 1: Analiza sytuacji geometrycznej

Ponieważ okręgi są styczne zewnętrznie:
$$|O_1O_2| = r + R$$

Okręgi są styczne do wspólnej prostej w punktach \(A\) i \(B\), co oznacza, że prosta ta jest **styczną zewnętrzną** do obu okręgów.

## Krok 2: Ustalenie układu współrzędnych

Umieśćmy prostą styczną na osi \(x\). Punkty styczności to \(A\) i \(B\).

Środki okręgów leżą prostopadle nad prostą styczną:
- \(O_1\) jest na wysokości \(r\) nad punktem \(A\)
- \(O_2\) jest na wysokości \(R\) nad punktem \(B\)

Przyjmijmy współrzędne:
- \(A = (0, 0)\)
- \(B = (5, 0)\)
- \(O_1 = (0, r)\)
- \(O_2 = (5, R)\)

## Krok 3: Wykorzystanie warunku stycznych zewnętrznych

Gdy prosta jest styczną zewnętrzną do dwóch okręgów o różnych promieniach, środki okręgów i punkty styczności tworzą trapez prostokątny.

Rozważmy odcinek \(O_1O_2\). Z geometrii:

$$|O_1O_2|^2 = |AB|^2 + (R - r)^2$$

Podstawiając \(|AB| = 5\):
$$|O_1O_2|^2 = 25 + (R - r)^2$$

## Krok 4: Wykorzystanie warunku stycznych wewnętrznych

Z warunku stycznych zewnętrznie okręgów:
$$(r + R)^2 = 25 + (R - r)^2$$

## Krok 5: Rozwiązanie równania

Rozwijamy obie strony:
$$r^2 + 2rR + R^2 = 25 + R^2 - 2rR + r^2$$

Upraszczamy:
$$2rR = 25 - 2rR$$

$$4rR = 25$$

$$rR = \frac{25}{4}$$

## Odpowiedź

Wartość iloczynu \(rR = \frac{25}{4}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp