---
route: /task/cke-2015-2023-pp-74
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-74
source: CKE 2015-2023 PP
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-74

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Końce odcinka \(AB\) o długości \(9\) są środkami okręgów o promieniach \(6\) i \(4\) (zobacz rysunek). Punkt \(C\) leży na odcinku \(AB\) i jest środkiem takiego okręgu, o promieniu większym od \(6\), że dwa dane okręgi są do niego wewnętrznie styczne. Promień okręgu o środku \(C\) ma długość

## Odpowiedzi

- **A.** \( 6{,}5 \)
- **B.** \( 7{,}5 \)
- **C.** \( 8{,}5 \)
- **D.** \( 9{,}5 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy:
- punkt \(A\) jako środek okręgu o promieniu \(r_A = 6\)
- punkt \(B\) jako środek okręgu o promieniu \(r_B = 4\)
- punkt \(C\) jako środek szukanego okręgu o promieniu \(r_C\)
- odległość \(|AB| = 9\)

**Warunek styczności wewnętrznej**

Gdy dwa okręgi są styczne wewnętrznie, to mniejszy okrąg znajduje się wewnątrz większego i stykają się w jednym punkcie. Warunek na odległość środków:

$$d = |r_{\text{większy}} - r_{\text{mniejszy}}|$$

**Przypadek okręgu o środku \(A\)**

Okrąg o środku \(C\) ma promień \(r_C > 6\), więc jest większy od okręgu o środku \(A\). Warunek styczności wewnętrznej:

$$|AC| = r_C - r_A = r_C - 6$$

**Przypadek okręgu o środku \(B\)**

Okrąg o środku \(C\) jest również większy od okręgu o środku \(B\) (bo \(r_C > 6 > 4\)). Warunek styczności wewnętrznej:

$$|BC| = r_C - r_B = r_C - 4$$

**Układ równań**

Ponieważ punkt \(C\) leży na odcinku \(AB\), to:

$$|AC| + |BC| = |AB| = 9$$

Podstawiamy warunki styczności:

$$(r_C - 6) + (r_C - 4) = 9$$

**Rozwiązanie**

$$r_C - 6 + r_C - 4 = 9$$

$$2r_C - 10 = 9$$

$$2r_C = 19$$

$$r_C = 9{,}5$$

**Weryfikacja:** 
- \(|AC| = 9{,}5 - 6 = 3{,}5\)
- \(|BC| = 9{,}5 - 4 = 5{,}5\)
- \(|AC| + |BC| = 3{,}5 + 5{,}5 = 9\) ✓
- \(r_C = 9{,}5 > 6\) ✓

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp