---
route: /task/cke-2015-2023-pp-73
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-73
source: CKE 2015-2023 PP
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-73

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Parami różne punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) leżą na okręgu. Odcinki \(DE\) i \(AC\) są równoległe, zaś odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu (zobacz rysunek). Wykaż, że prosta \(BE\) zawiera wysokość trójkąta \(ABC\) opuszczoną na bok \(AC\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że prosta \(BE\) zawiera wysokość trójkąta \(ABC\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Zostanie wykazane, że prosta \(BE\) jest prostopadła do \(AC\), co oznacza, że zawiera wysokość trójkąta \(ABC\) opuszczoną na bok \(AC\).

## Krok 1: Kąt oparty na średnicy

Ponieważ \(BD\) jest średnicą okręgu, to każdy kąt wpisany oparty na tym łuku wynosi \(90°\).

W szczególności punkt \(E\) leży na okręgu, więc kąt \(\angle BED\) jest kątem wpisanym opartym na średnicy \(BD\).

Zatem:
$$\angle BED = 90°$$

## Krok 2: Wykorzystanie równoległości

Z założenia wiemy, że \(DE \parallel AC\).

Kąty naprzemianległe przy prostych równoległych \(DE\) i \(AC\) przeciętych prostą \(BE\) (sieczną) są równe:
$$\angle BED = \angle BEA + \angle AED = 90°$$

gdzie \(\angle AED\) to kąt między prostymi \(EA\) i \(ED\).

## Krok 3: Kąty naprzemianległe

Rozważmy kąty utworzone przez sieczną przecinającą proste równoległe.

Ponieważ \(DE \parallel AC\), to:
$$\angle DEB = \angle EBC'$$

gdzie \(C'\) jest punktem na przedłużeniu \(AC\) lub samym \(C\).

Lepiej: kąty odpowiadające przy prostych równoległych \(DE\) i \(AC\) przeciętych sieczną \(BE\):
$$\angle DEB = \angle BEx$$

gdzie \(x\) oznacza kąt między \(BE\) a \(AC\).

## Krok 4: Prostopadłość \(BE\) i \(AC\)

Z kroku 1: \(\angle BED = 90°\)

Z własności kątów naprzemianległych dla prostych równoległych \(DE \parallel AC\) przeciętych sieczną \(BE\):

Kąt między prostą \(BE\) a prostą \(DE\) jest równy kątowi między prostą \(BE\) a prostą \(AC\) (kąty naprzemianległe).

Oznacza to, że:
$$\angle(BE, AC) = \angle BED = 90°$$

## Wniosek

Prosta \(BE\) jest prostopadła do prostej \(AC\).

Ponieważ punkt \(B\) należy do trójkąta \(ABC\), a prosta \(BE\) przechodzi przez wierzchołek \(B\) i jest prostopadła do boku \(AC\), to prosta \(BE\) zawiera wysokość trójkąta \(ABC\) opuszczoną z wierzchołka \(B\) na bok \(AC\).

$$\boxed{\text{c.b.d.u.}}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp