---
route: /task/cke-2015-2023-pp-72
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-72
source: CKE 2015-2023 PP
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-72

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) są położone w tej kolejności na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Odcinek \(DB\) jest średnicą tego okręgu i \(|\sphericalangle BAC|=\alpha \), \(|\sphericalangle CBD|=\beta \). Wykaż, że \(\alpha +\beta =90^\circ \).

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że \(\alpha + \beta = 90^\circ\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Korzysta się z własności kątów wpisanych w okrąg oraz z twierdzenia o kącie wpisanym opartym na średnicy.

**Krok 1: Kąt wpisany oparty na średnicy**

Ponieważ \(DB\) jest średnicą okręgu, to kąt \(\sphericalangle DCB\) jest kątem wpisanym opartym na średnicy. Z twierdzenia Talesa:

$$\sphericalangle DCB = 90°$$

**Krok 2: Analiza kąta \(\beta\)**

Z oznaczenia wiemy, że \(\beta = |\sphericalangle CBD|\).

W trójkącie \(BCD\) suma kątów wynosi \(180°\):

$$\sphericalangle CBD + \sphericalangle BCD + \sphericalangle CDB = 180°$$

Podstawiając \(\sphericalangle BCD = 90°\):

$$\beta + 90° + \sphericalangle CDB = 180°$$

$$\sphericalangle CDB = 90° - \beta$$

**Krok 3: Kąty wpisane oparte na tym samym łuku**

Kąty \(\sphericalangle BAC\) i \(\sphericalangle BDC\) są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku \(BC\) (punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) leżą w tej kolejności na okręgu, więc oba kąty "widzą" łuk \(BC\) z tej samej strony cięciwy).

Z twierdzenia o kątach wpisanych opartych na tym samym łuku:

$$\sphericalangle BAC = \sphericalangle BDC$$

Zatem:

$$\alpha = \sphericalangle CDB$$

**Krok 4: Wykazanie tezy**

Z kroku 2 wiemy, że:

$$\sphericalangle CDB = 90° - \beta$$

Z kroku 3 wiemy, że:

$$\alpha = \sphericalangle CDB$$

Łącząc te równości:

$$\alpha = 90° - \beta$$

$$\alpha + \beta = 90°$$

co należało wykazać.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp