---
route: /task/cke-2015-2023-pp-71
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-71
source: CKE 2015-2023 PP
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-71

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Punkty \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) są położone w tej kolejności na okręgu o środku \(O\) (zobacz rysunek). Odcinki \(BD\) i \(AC\) są średnicami tego okręgu oraz \(|\sphericalangle BEC|=60^\circ \). Oblicz miarę kąta \(CBD\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(30^\circ \)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Korzysta się z własności kątów wpisanych i środkowych w okręgu.

## Krok 1: Kąt wpisany oparty na średnicy

Ponieważ \(BD\) jest średnicą okręgu, to kąt \(\angle BED\) oparty na tej średnicy jest kątem prostym:
$$\angle BED = 90°$$

## Krok 2: Związek między kątami w punkcie \(E\)

Punkty \(B\), \(E\), \(C\), \(D\) leżą na okręgu w kolejności wynikającej z zadania. Zauważmy, że:
$$\angle BED = \angle BEC + \angle CED$$

Podstawiając znane wartości:
$$90° = 60° + \angle CED$$
$$\angle CED = 30°$$

## Krok 3: Kąty wpisane oparte na tym samym łuku

Kąty \(\angle CBD\) i \(\angle CED\) są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku \(CD\) okręgu.

Z własności kątów wpisanych: **kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe**.

## Krok 4: Obliczenie kąta \(CBD\)

Zatem:
$$\angle CBD = \angle CED = 30°$$

**Odpowiedź:** Miara kąta \(CBD\) wynosi \(30°\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp