---
route: /task/cke-2015-2023-pp-70
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-70
source: CKE 2015-2023 PP
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-70

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Odcinek \(AB\) jest średnicą okręgu o środku w punkcie \(O\) i promieniu r (zobacz rysunek). Cięciwa \(AC\) ma długość \(r\sqrt{3}\), więc

## Odpowiedzi

- **A.** \( |\sphericalangle AOC|=130^\circ \)
- **B.** \( |\sphericalangle ABC|=90^\circ \)
- **C.** \( |\sphericalangle BOC|=60^\circ \)
- **D.** \( |\sphericalangle BAC|=45^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Analizuje się trójkąt AOC, gdzie:
- \(|OA| = r\) (promień)
- \(|OC| = r\) (promień)
- \(|AC| = r\sqrt{3}\) (dana cięciwa)

**Krok 1:** Wyznacza się kąt AOC

Trójkąt AOC jest równoramienny (dwa boki to promienie). Stosuje się twierdzenie cosinusów:

$$|AC|^2 = |OA|^2 + |OC|^2 - 2|OA| \cdot |OC| \cdot \cos(\angle AOC)$$

Podstawia się dane:

$$(r\sqrt{3})^2 = r^2 + r^2 - 2r^2 \cos(\angle AOC)$$

$$3r^2 = 2r^2 - 2r^2 \cos(\angle AOC)$$

$$3r^2 = 2r^2(1 - \cos(\angle AOC))$$

$$\frac{3}{2} = 1 - \cos(\angle AOC)$$

$$\cos(\angle AOC) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$$

Zatem:
$$|\angle AOC| = 120°$$

**Krok 2:** Sprawdza się kąt BOC

Ponieważ AB jest średnicą, punkty A, O, B są współliniowe, więc:

$$|\angle BOC| = 180° - |\angle AOC| = 180° - 120° = 60°$$

**Krok 3:** Weryfikuję pozostałe odpowiedzi

- **A.** \(|\angle AOC| = 120° \neq 130°\) ✗
- **B.** \(|\angle ABC|\) to kąt wpisany oparty na średnicy AC (nie AB), więc \(\neq 90°\) ✗
- **C.** \(|\angle BOC| = 60°\) ✓
- **D.** \(|\angle BAC|\) to kąt wpisany nad łukiem BC. Z twierdzenia o kącie wpisanym: \(|\angle BAC| = \frac{1}{2}|\angle BOC| = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30° \neq 45°\) ✗

**Odpowiedź: C**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp