---
route: /task/cke-2015-2023-pp-69
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-69
source: CKE 2015-2023 PP
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-69

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Na rysunku jest przedstawiona prosta zawierająca przekątną \(AC\) rombu \(ABCD\) oraz wierzchołki \(A=(-2,1)\) i \(C=(4,5)\) tego rombu. Wskaż równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego rombu.

## Odpowiedzi

- **A.** \( y=-\frac{2}{3}x+\frac{11}{3} \)
- **B.** \( y=-\frac{3}{2}x+4 \)
- **C.** \( y=-x+4 \)
- **D.** \( y=-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Wyznacza się równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) rombu.

**Krok 1: Właściwości przekątnych rombu**

W rombie przekątne:
- przecinają się w połowie swoich długości (punkt przecięcia to środek obu przekątnych)
- są prostopadłe

**Krok 2: Wyznacza się środek przekątnej \(AC\)**

Środek odcinka \(AC\) to punkt \(S\), który jest też środkiem przekątnej \(BD\):

$$S = \left(\frac{-2+4}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}, \frac{6}{2}\right) = (1, 3)$$

**Krok 3: Wyznacza się współczynnik kierunkowy prostej \(AC\)**

Dla punktów \(A=(-2,1)\) i \(C=(4,5)\):

$$a_{AC} = \frac{5-1}{4-(-2)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$$

**Krok 4: Wyznacza się współczynnik kierunkowy prostej \(BD\)**

Ponieważ przekątne rombu są prostopadłe, ich współczynniki kierunkowe spełniają warunek:

$$a_{BD} \cdot a_{AC} = -1$$

$$a_{BD} \cdot \frac{2}{3} = -1$$

$$a_{BD} = -\frac{3}{2}$$

**Krok 5: Zapisuje się równanie prostej \(BD\)**

Prosta \(BD\) przechodzi przez punkt \(S=(1,3)\) i ma współczynnik kierunkowy \(a_{BD} = -\frac{3}{2}\):

$$y - 3 = -\frac{3}{2}(x - 1)$$

$$y - 3 = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2}$$

$$y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2} + 3$$

$$y = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2} + \frac{6}{2}$$

$$y = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$$

**Odpowiedź: D**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp