---
route: /task/cke-2015-2023-pp-68
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-68
source: CKE 2015-2023 PP
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-68

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest romb o boku długości \(3\). Krawędź boczna \(DS\) ma długość \(4\) i jest jednocześnie wysokością tego ostrosłupa. Długości pozostałych trzech krawędzi bocznych są równe (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(6\sqrt{3}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Mamy ostrosłup o podstawie rombowej, gdzie jedna krawędź boczna jest wysokością.

## Analiza danych

- Podstawa: romb \(ABCD\) o boku długości 3
- Krawędź \(DS = 4\) jest wysokością ostrosłupa
- Pozostałe krawędzie boczne: \(AS = BS = CS\)

## Krok 1: Interpretacja warunku o wysokości

Jeśli \(DS\) jest wysokością ostrosłupa, to \(DS \perp\) (płaszczyzna podstawy).

Oznacza to, że punkt \(D\) jest jednocześnie wierzchołkiem podstawy i rzutem wysokości na podstawę. Zatem \(S\) leży na prostej prostopadłej do podstawy przechodzącej przez \(D\).

## Krok 2: Wyznaczenie warunków geometrycznych

Skoro \(DS \perp\) (podstawa) i \(DS = 4\), to dla pozostałych wierzchołków podstawy \(A, B, C\):

$$AS^2 = AD^2 + DS^2$$
$$BS^2 = BD^2 + DS^2$$
$$CS^2 = CD^2 + DS^2$$

## Krok 3: Wykorzystanie warunku równości krawędzi

Z warunku \(AS = BS = CS\) otrzymujemy:

$$AD^2 + 16 = BD^2 + 16 = CD^2 + 16$$

Zatem:
$$AD^2 = BD^2 = CD^2$$

czyli:
$$AD = BD = CD$$

## Krok 4: Analiza rombu

W rombie \(ABCD\):
- \(AD = 3\) (bok rombu)
- \(CD = 3\) (bok rombu)
- \(AD = BD = CD = 3\)

Oznacza to, że \(BD = 3\).

## Krok 5: Wyznaczenie kąta rombu

W trójkącie \(ABD\):
- \(AD = 3\), \(AB = 3\), \(BD = 3\)

To jest trójkąt równoboczny! Zatem \(\angle DAB = 60°\).

To jest kąt rombu: \(\alpha = 60°\).

## Krok 6: Pole podstawy

Pole rombu o boku \(a = 3\) i kącie \(\alpha = 60°\):

$$P = a^2 \sin\alpha = 3^2 \cdot \sin 60° = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$$

## Krok 7: Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa:

$$V = \frac{1}{3} \cdot P_{\text{podstawy}} \cdot H$$

gdzie \(H = DS = 4\):

$$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot 4 = \frac{1}{3} \cdot \frac{36\sqrt{3}}{2} = \frac{36\sqrt{3}}{6} = 6\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** Objętość ostrosłupa wynosi \(6\sqrt{3}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp