---
route: /task/cke-2015-2023-pp-66
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-66
source: CKE 2015-2023 PP
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-66

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Skończony ciąg \((a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)\) jest geometryczny. Uzasadnij, że mając dany tylko wyraz środkowy \(a_3\), można obliczyć iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu.

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że iloczyn wszystkich wyrazów jest równy \(a_3^5\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Rozważam ciąg geometryczny \((a_1, a_2, a_3, a_4, a_5)\) o ilorazie \(q\).

**Krok 1: Wyrażenie wyrazów przez \(a_3\) i \(q\)**

Skoro \(a_3\) jest wyrazem środkowym, można wyrazić pozostałe wyrazy:
- \(a_2 = \frac{a_3}{q}\)
- \(a_1 = \frac{a_3}{q^2}\)
- \(a_4 = a_3 \cdot q\)
- \(a_5 = a_3 \cdot q^2\)

**Krok 2: Obliczenie iloczynu wszystkich wyrazów**

$$P = a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5$$

Podstawia się wyrażenia z Kroku 1:

$$P = \frac{a_3}{q^2} \cdot \frac{a_3}{q} \cdot a_3 \cdot a_3 q \cdot a_3 q^2$$

**Krok 3: Uproszczenie**

Grupuję potęgi \(a_3\) i \(q\):

$$P = a_3^5 \cdot \frac{q^2 \cdot q}{q^2 \cdot q}$$

$$P = a_3^5 \cdot \frac{q^3}{q^3}$$

$$P = a_3^5 \cdot 1$$

$$P = a_3^5$$

**Wniosek:**

Iloczyn wszystkich wyrazów pięcioelementowego ciągu geometrycznego wynosi \(a_3^5\), czyli piątą potęgę wyrazu środkowego. Widać, że iloraz \(q\) się redukuje, więc znając jedynie \(a_3\), możemy obliczyć iloczyn wszystkich wyrazów jako \(a_3^5\).

**Uzasadnienie ogólne:** W ciągu geometrycznym wyrazy równoodległe od środka są parami symetryczne względem niego, tzn. \(a_1 \cdot a_5 = a_3^2\) oraz \(a_2 \cdot a_4 = a_3^2\), co także prowadzi do: \(P = a_3^2 \cdot a_3^2 \cdot a_3 = a_3^5\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp