---
route: /task/cke-2015-2023-pp-65
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-65
source: CKE 2015-2023 PP
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-65

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dana jest funkcja wykładnicza \(f(x)=2^x\) oraz ciąg o wyrazie ogólnym \(a_n=f(3n)\), dla \(n\ge 1\). Wykaż, że ciąg \((a_n)\) jest geometryczny i oblicz iloraz tego ciągu.

**Prawidłowa odpowiedź:** Ciąg jest geometryczny, iloraz \(q=8\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Musimy wykazać, że ciąg jest geometryczny i obliczyć jego iloraz.

## Krok 1: Wyznaczenie wzoru na \(a_n\)

Mamy \(f(x) = 2^x\) oraz \(a_n = f(3n)\).

Podstawiając:
$$a_n = 2^{3n}$$

## Krok 2: Wyznaczenie wzoru na \(a_{n+1}\)

$$a_{n+1} = 2^{3(n+1)} = 2^{3n+3}$$

## Krok 3: Obliczenie ilorazu \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\)

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{3n+3}}{2^{3n}}$$

Korzystając z własności potęg \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\):

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 2^{3n+3-3n} = 2^3 = 8$$

## Krok 4: Uzasadnienie, że ciąg jest geometryczny

Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny, ponieważ:
$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = 8 = \text{const}$$

dla wszystkich \(n \geq 1\).

Iloraz kolejnych wyrazów ciągu jest stały i nie zależy od \(n\), co jest definicją ciągu geometrycznego.

## Odpowiedź

Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny o ilorazie \(q = 8\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp