---
route: /task/cke-2015-2023-pp-64
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-64
source: CKE 2015-2023 PP
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-64

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) o wszystkich wyrazach różnych od zera, określony dla \(n\ge 1\). Wykaż, że ciąg \((b_n)\), określony dla \(n\ge 1\) wzorem ogólnym \(b_n=a_n\cdot (2a_{n+2})^2\), jest geometryczny.

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że ciąg \((b_n)\) jest geometryczny

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Aby wykazać, że ciąg \((b_n)\) jest geometryczny, trzeba udowodnić, że iloraz \(\frac{b_{n+1}}{b_n}\) jest stały (niezależny od \(n\)).

## Krok 1: Zapisuje się wzór ogólny ciągu geometrycznego

Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny, więc:
$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$
gdzie \(q \neq 0\) (iloraz ciągu).

## Krok 2: Wyznacza się potrzebne wyrazy

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$
$$a_{n+1} = a_1 \cdot q^n$$
$$a_{n+2} = a_1 \cdot q^{n+1}$$
$$a_{n+3} = a_1 \cdot q^{n+2}$$

## Krok 3: Zapisuje się wzór na \(b_n\)

$$b_n = a_n \cdot (2a_{n+2})^2 = a_n \cdot 4a_{n+2}^2$$

Podstawia się:
$$b_n = a_1 \cdot q^{n-1} \cdot 4 \cdot (a_1 \cdot q^{n+1})^2$$
$$b_n = a_1 \cdot q^{n-1} \cdot 4 \cdot a_1^2 \cdot q^{2(n+1)}$$
$$b_n = 4a_1^3 \cdot q^{n-1} \cdot q^{2n+2}$$
$$b_n = 4a_1^3 \cdot q^{3n+1}$$

## Krok 4: Zapisuje się wzór na \(b_{n+1}\)

$$b_{n+1} = 4a_1^3 \cdot q^{3(n+1)+1} = 4a_1^3 \cdot q^{3n+4}$$

## Krok 5: Oblicza się iloraz \(\frac{b_{n+1}}{b_n}\)

$$\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{4a_1^3 \cdot q^{3n+4}}{4a_1^3 \cdot q^{3n+1}} = \frac{q^{3n+4}}{q^{3n+1}} = q^{(3n+4)-(3n+1)} = q^3$$

## Wniosek

Iloraz \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = q^3\) jest stały (niezależny od \(n\)), co oznacza, że ciąg \((b_n)\) jest geometryczny o ilorazie \(q^3\).

**Uwaga:** Ponieważ \(q \neq 0\) (wszystkie wyrazy ciągu \((a_n)\) są różne od zera), to również \(q^3 \neq 0\), więc \((b_n)\) jest rzeczywiście ciągiem geometrycznym.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp