---
route: /task/cke-2015-2023-pp-63
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-63
source: CKE 2015-2023 PP
category: Ciągi
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-63

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W ciągu geometrycznym \((a_n)\) o różnych i niezerowych wyrazach różnica między wyrazami piątym i trzecim jest trzy razy większa niż różnica między wyrazami czwartym i trzecim. Oblicz iloraz ciągu \((a_n)\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(2\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu jako \(a_1\), a iloraz jako \(q\).

**Krok 1: Zapisanie wyrazów ciągu geometrycznego**

W ciągu geometrycznym:
- \(a_3 = a_1 \cdot q^2\)
- \(a_4 = a_1 \cdot q^3\)
- \(a_5 = a_1 \cdot q^4\)

**Krok 2: Zapisanie różnic między wyrazami**

Różnica między wyrazami piątym i trzecim:
$$a_5 - a_3 = a_1 q^4 - a_1 q^2 = a_1 q^2(q^2 - 1)$$

Różnica między wyrazami czwartym i trzecim:
$$a_4 - a_3 = a_1 q^3 - a_1 q^2 = a_1 q^2(q - 1)$$

**Krok 3: Wykorzystanie warunku z zadania**

Według treści zadania:
$$a_5 - a_3 = 3(a_4 - a_3)$$

Podstawiamy obliczone różnice:
$$a_1 q^2(q^2 - 1) = 3 \cdot a_1 q^2(q - 1)$$

**Krok 4: Uproszczenie równania**

Ponieważ \(a_1 \neq 0\) i wyrazy są różne (więc \(q \neq 0\) i \(q \neq 1\)), możemy podzielić obie strony przez \(a_1 q^2\):
$$q^2 - 1 = 3(q - 1)$$

Rozkładamy lewą stronę:
$$(q - 1)(q + 1) = 3(q - 1)$$

**Krok 5: Rozwiązanie równania**

Dzielimy obie strony przez \((q - 1)\), co jest możliwe, bo \(q \neq 1\) (wyrazy są różne):
$$q + 1 = 3$$

$$q = 2$$

**Sprawdzenie:** Dla \(q = 2\) wyrazy są różne i niezerowe, warunek jest spełniony.

**Odpowiedź: Iloraz ciągu wynosi \(q = 2\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp