---
route: /task/cke-2015-2023-pp-62
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-62
source: CKE 2015-2023 PP
category: Procenty
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-62

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Procenty
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kacper przez \(5\) dni zapisywał swoje wydatki. Zauważył, że każdego dnia wydatki były niższe o \(20\%\) w stosunku do wydatków poprzedniego dnia. Oblicz kwotę, jaką Kacper wydał w tym czasie, jeśli piątego dnia wydał \(20{,}48\) zł.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(168{,}08\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Analiza problemu

Wydatki każdego dnia były niższe o 20% w stosunku do dnia poprzedniego, co oznacza, że każdego dnia Kacper wydawał 80% kwoty z dnia poprzedniego.

Jeśli oznaczymy wydatki pierwszego dnia jako \(a_1\), to:
- dzień 1: \(a_1\)
- dzień 2: \(a_1 \cdot 0{,}8\)
- dzień 3: \(a_1 \cdot 0{,}8^2\)
- dzień 4: \(a_1 \cdot 0{,}8^3\)
- dzień 5: \(a_1 \cdot 0{,}8^4\)

Jest to ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q = 0{,}8\).

## Wyznaczenie pierwszego wyrazu

Wiemy, że piątego dnia wydał 20,48 zł, więc:

$$a_5 = a_1 \cdot 0{,}8^4 = 20{,}48$$

Obliczamy \(0{,}8^4\):

$$0{,}8^4 = 0{,}4096$$

Stąd:

$$a_1 = \frac{20{,}48}{0{,}4096} = 50$$

## Obliczenie sumy wydatków

Suma wydatków z 5 dni to suma ciągu geometrycznego:

$$S_5 = a_1 \cdot \frac{1 - q^5}{1 - q}$$

Podstawiamy \(a_1 = 50\), \(q = 0{,}8\):

$$S_5 = 50 \cdot \frac{1 - 0{,}8^5}{1 - 0{,}8}$$

Obliczamy \(0{,}8^5\):

$$0{,}8^5 = 0{,}8^4 \cdot 0{,}8 = 0{,}4096 \cdot 0{,}8 = 0{,}32768$$

Podstawiamy:

$$S_5 = 50 \cdot \frac{1 - 0{,}32768}{0{,}2} = 50 \cdot \frac{0{,}67232}{0{,}2}$$

$$S_5 = 50 \cdot 3{,}3616 = 168{,}08$$

## Odpowiedź

Kacper wydał w ciągu 5 dni **168,08 zł**.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/procenty
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp