---
route: /task/cke-2015-2023-pp-61
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-61
source: CKE 2015-2023 PP
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-61

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W ciągu geometrycznym \((a_n)\), w którym \(a_1=1\), znane są wartości dwóch wyrazów: \(a_k=16\) i \(a_{k+2}=32\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą całkowitą dodatnią. Wyznacz wyraz \(a_{10}\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(16\sqrt{2}\) lub \(-16\sqrt{2}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Zapiszmy wzór ogólny na wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$

gdzie \(q\) to iloraz ciągu.

**Krok 1: Wykorzystanie danych o wyrazach \(a_k\) i \(a_{k+2}\)**

Z warunków zadania:
$$a_k = a_1 \cdot q^{k-1} = 1 \cdot q^{k-1} = 16$$
$$a_{k+2} = a_1 \cdot q^{k+1} = 1 \cdot q^{k+1} = 32$$

**Krok 2: Znalezienie \(q^2\)**

Podzielmy drugie równanie przez pierwsze:
$$\frac{a_{k+2}}{a_k} = \frac{q^{k+1}}{q^{k-1}} = q^2$$

$$q^2 = \frac{32}{16} = 2$$

**Krok 3: Znalezienie \(q\)**

$$q = \sqrt{2} \quad \text{lub} \quad q = -\sqrt{2}$$

**Krok 4: Znalezienie \(k\) dla każdego przypadku**

**Przypadek 1:** \(q = \sqrt{2}\)

Z równania \(q^{k-1} = 16\):
$$(\sqrt{2})^{k-1} = 16$$
$$2^{\frac{k-1}{2}} = 2^4$$
$$\frac{k-1}{2} = 4$$
$$k = 9$$

**Przypadek 2:** \(q = -\sqrt{2}\)

Z równania \(q^{k-1} = 16\):
$$(-\sqrt{2})^{k-1} = 16$$

Ponieważ \(16 > 0\), to \(k-1\) musi być parzyste. Wtedy:
$$(\sqrt{2})^{k-1} = 16$$
$$k = 9$$ (jak wyżej)

**Krok 5: Obliczenie \(a_{10}\)**

**Dla \(q = \sqrt{2}\):**
$$a_{10} = a_1 \cdot q^9 = 1 \cdot (\sqrt{2})^9 = (\sqrt{2})^9 = 2^{9/2} = 2^4 \cdot 2^{1/2} = 16\sqrt{2}$$

**Dla \(q = -\sqrt{2}\):**
$$a_{10} = a_1 \cdot q^9 = 1 \cdot (-\sqrt{2})^9 = -(\sqrt{2})^9 = -16\sqrt{2}$$

**Weryfikacja:**
- Dla \(q = \sqrt{2}\): \(a_9 = (\sqrt{2})^8 = 16\) ✓ oraz \(a_{11} = (\sqrt{2})^{10} = 32\) ✓
- Dla \(q = -\sqrt{2}\): \(a_9 = (-\sqrt{2})^8 = 16\) ✓ oraz \(a_{11} = (-\sqrt{2})^{10} = 32\) ✓

**Odpowiedź:** \(a_{10} = 16\sqrt{2}\) lub \(a_{10} = -16\sqrt{2}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp