---
route: /task/cke-2015-2023-pp-59
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-59
source: CKE 2015-2023 PP
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-59

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Skończony ciąg arytmetyczny ma nieparzystą liczbę wyrazów. Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi. Uzasadnij, że środkowy wyraz jest dzielnikiem sumy tych wyrazów.

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że środkowy wyraz jest dzielnikiem sumy

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy przez \(n = 2k+1\) liczbę wyrazów ciągu (nieparzysta), gdzie \(k \geq 0\) jest liczbą całkowitą.

**Krok 1: Wyrażenie środkowego wyrazu**

Środkowym wyrazem ciągu o \(2k+1\) wyrazach jest wyraz o numerze \(k+1\), czyli:
$$a_{k+1}$$

**Krok 2: Wzór na sumę ciągu arytmetycznego**

Suma ciągu arytmetycznego o \(n\) wyrazach wynosi:
$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

Dla naszego ciągu:
$$S_{2k+1} = \frac{(2k+1)(a_1 + a_{2k+1})}{2}$$

**Krok 3: Wyrażenie pierwszego i ostatniego wyrazu przez środkowy**

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz (dla nieparzystej liczby wyrazów) jest średnią arytmetyczną pierwszego i ostatniego wyrazu:
$$a_{k+1} = \frac{a_1 + a_{2k+1}}{2}$$

Stąd:
$$a_1 + a_{2k+1} = 2a_{k+1}$$

**Krok 4: Podstawienie do wzoru na sumę**

$$S_{2k+1} = \frac{(2k+1) \cdot 2a_{k+1}}{2} = (2k+1) \cdot a_{k+1}$$

**Krok 5: Wniosek**

Otrzymaliśmy:
$$S_{2k+1} = (2k+1) \cdot a_{k+1}$$

Suma wszystkich wyrazów jest iloczynem liczby wyrazów i środkowego wyrazu. Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu są liczbami całkowitymi, to również \(a_{k+1}\) jest liczbą całkowitą.

Zatem suma \(S_{2k+1}\) jest podzielna przez środkowy wyraz \(a_{k+1}\), co kończy dowód.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp