---
route: /task/cke-2015-2023-pp-58
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-58
source: CKE 2015-2023 PP
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-58

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony dla \(n\ge 1\). Wykaż, że ciąg \((b_n)\), określony dla \(n\ge 1\) wzorem ogólnym \(b_n=2a_{n+2}+4a_{n+4}\) jest arytmetyczny.

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że ciąg \((b_n)\) jest arytmetyczny

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Aby wykazać, że ciąg \((b_n)\) jest arytmetyczny, trzeba udowodnić, że różnica \(b_{n+1} - b_n\) jest stała (niezależna od \(n\)).

## Krok 1: Zapisuje się wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Ponieważ \((a_n)\) jest ciągiem arytmetycznym, to:
$$a_n = a_1 + (n-1)r$$
gdzie \(r\) jest różnicą ciągu.

## Krok 2: Wyraża się wyrazy ciągu \((b_n)\)

$$b_n = 2a_{n+2} + 4a_{n+4}$$

Podstawia się wzór ogólny:
$$b_n = 2[a_1 + (n+1)r] + 4[a_1 + (n+3)r]$$

## Krok 3: Upraszcza się wyrażenie na \(b_n\)

$$b_n = 2a_1 + 2(n+1)r + 4a_1 + 4(n+3)r$$

$$b_n = 6a_1 + 2(n+1)r + 4(n+3)r$$

$$b_n = 6a_1 + (2n + 2)r + (4n + 12)r$$

$$b_n = 6a_1 + 6nr + 14r$$

$$b_n = 6a_1 + 14r + 6nr$$

## Krok 4: Oblicza się \(b_{n+1}\)

$$b_{n+1} = 6a_1 + 14r + 6(n+1)r$$

$$b_{n+1} = 6a_1 + 14r + 6nr + 6r$$

$$b_{n+1} = 6a_1 + 14r + 6nr + 6r$$

## Krok 5: Oblicza się różnicę \(b_{n+1} - b_n\)

$$b_{n+1} - b_n = (6a_1 + 14r + 6nr + 6r) - (6a_1 + 14r + 6nr)$$

$$b_{n+1} - b_n = 6r$$

## Wniosek

Różnica \(b_{n+1} - b_n = 6r\) jest stała (niezależna od \(n\)), co oznacza, że ciąg \((b_n)\) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy równej \(6r\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp