---
route: /task/cke-2015-2023-pp-57
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-57
source: CKE 2015-2023 PP
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-57

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Suma \(23\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) dla \(n\ge 1\) jest równa \(1564\). Oblicz średnią arytmetyczną wyrazów \(a_3\) i \(a_{21}\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(68\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Oznaczmy pierwszy wyraz ciągu przez \(a_1\), a różnicę ciągu przez \(r\).

## Krok 1: Wykorzystanie wzoru na sumę ciągu arytmetycznego

Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem:

$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$

Można też zapisać:

$$S_n = \frac{n(2a_1 + (n-1)r)}{2}$$

## Krok 2: Zapisanie warunku z treści zadania

Mamy \(S_{23} = 1564\), zatem:

$$S_{23} = \frac{23(a_1 + a_{23})}{2} = 1564$$

## Krok 3: Obliczenie sumy \(a_1 + a_{23}\)

$$23(a_1 + a_{23}) = 3128$$

$$a_1 + a_{23} = \frac{3128}{23} = 136$$

## Krok 4: Wyrażenie \(a_{23}\) przez wzór ogólny

W ciągu arytmetycznym:

$$a_{23} = a_1 + 22r$$

Podstawiając do równania z Kroku 3:

$$a_1 + (a_1 + 22r) = 136$$

$$2a_1 + 22r = 136$$

$$a_1 + 11r = 68$$

## Krok 5: Obliczenie średniej arytmetycznej \(a_3\) i \(a_{21}\)

Wyrażamy te wyrazy przez wzór ogólny:
- \(a_3 = a_1 + 2r\)
- \(a_{21} = a_1 + 20r\)

Średnia arytmetyczna:

$$\frac{a_3 + a_{21}}{2} = \frac{(a_1 + 2r) + (a_1 + 20r)}{2}$$

$$= \frac{2a_1 + 22r}{2} = \frac{2(a_1 + 11r)}{2} = a_1 + 11r$$

## Krok 6: Odpowiedź końcowa

Z Kroku 4 wiemy, że \(a_1 + 11r = 68\).

**Odpowiedź: \(68\)**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp