---
route: /task/cke-2015-2023-pp-56
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-56
source: CKE 2015-2023 PP
category: Ciągi
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-56

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Suma \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((a_n)\) dana jest wzorem \(S_n=\frac{n^2-25n}{4}\), gdzie \(n\ge 1\). Różnica ciągu arytmetycznego \((b_n)\) jest równa \(\frac{3}{2}\) oraz jego piąty wyraz jest równy \(8\). Wyznacz sumę \(17\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego \((c_n)\), wiedząc, że \(c_n=2b_n-a_8\), gdzie \(n\ge 1\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(518\frac{1}{2}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Rozwiążemy zadanie krok po kroku, wyznaczając kolejno potrzebne elementy.

## Krok 1: Wyznaczenie wyrazu \(a_8\) z ciągu \((a_n)\)

Suma \(n\) początkowych wyrazów: \(S_n = \frac{n^2-25n}{4}\)

Wyraz \(a_n\) można wyznaczyć ze wzoru:
$$a_n = S_n - S_{n-1} \text{ dla } n \geq 2$$

Obliczmy \(S_8\) i \(S_7\):

$$S_8 = \frac{8^2 - 25 \cdot 8}{4} = \frac{64 - 200}{4} = \frac{-136}{4} = -34$$

$$S_7 = \frac{7^2 - 25 \cdot 7}{4} = \frac{49 - 175}{4} = \frac{-126}{4} = -\frac{63}{2}$$

Zatem:
$$a_8 = S_8 - S_7 = -34 - \left(-\frac{63}{2}\right) = -34 + \frac{63}{2} = -\frac{68}{2} + \frac{63}{2} = -\frac{5}{2}$$

## Krok 2: Wyznaczenie pierwszego wyrazu ciągu \((b_n)\)

Dano: \(r_b = \frac{3}{2}\) oraz \(b_5 = 8\)

Ze wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego:
$$b_5 = b_1 + 4r_b$$

$$8 = b_1 + 4 \cdot \frac{3}{2}$$

$$8 = b_1 + 6$$

$$b_1 = 2$$

## Krok 3: Wyznaczenie parametrów ciągu \((c_n)\)

Dano: \(c_n = 2b_n - a_8\)

Podstawmy \(a_8 = -\frac{5}{2}\):
$$c_n = 2b_n + \frac{5}{2}$$

Dla ciągu \((b_n)\): \(b_n = b_1 + (n-1)r_b = 2 + (n-1) \cdot \frac{3}{2}\)

Zatem:
$$c_n = 2\left[2 + (n-1) \cdot \frac{3}{2}\right] + \frac{5}{2}$$

$$c_n = 4 + (n-1) \cdot 3 + \frac{5}{2} = 4 + 3n - 3 + \frac{5}{2} = 1 + 3n + \frac{5}{2} = 3n + \frac{7}{2}$$

Pierwszy wyraz: \(c_1 = 3 \cdot 1 + \frac{7}{2} = 3 + \frac{7}{2} = \frac{13}{2}\)

Różnica: \(r_c = c_{n+1} - c_n = 3(n+1) + \frac{7}{2} - 3n - \frac{7}{2} = 3\)

## Krok 4: Obliczenie sumy \(S_{17}\) dla ciągu \((c_n)\)

Wzór na sumę ciągu arytmetycznego:
$$S_n = \frac{n(c_1 + c_n)}{2}$$

Najpierw wyznaczmy \(c_{17}\):
$$c_{17} = 3 \cdot 17 + \frac{7}{2} = 51 + \frac{7}{2} = \frac{109}{2}$$

Teraz suma:
$$S_{17} = \frac{17\left(\frac{13}{2} + \frac{109}{2}\right)}{2} = \frac{17 \cdot \frac{122}{2}}{2} = \frac{17 \cdot 61}{2} = \frac{1037}{2} = 518\frac{1}{2}$$

**Odpowiedź:** \(518\frac{1}{2}\)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp