---
route: /task/cke-2015-2023-pp-53
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-53
source: CKE 2015-2023 PP
category: Ciągi
points: 4
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-53

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W pewnym ciągu geometrycznym \(a_n\) wyraz \(a_4\) jest osiem razy większy od wyrazu \(a_1\). Drugi wyraz tego ciągu jest równy \(6\). Znajdź najmniejszą liczbę naturalną \(k\) taką, że \(a_k\gt 100\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(k=7\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Zapisanie danych zadania

W ciągu geometrycznym \((a_n)\) zachodzi \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\), gdzie \(q\) to iloraz ciągu.

Dane:
- \(a_4 = 8a_1\)
- \(a_2 = 6\)

## Krok 2: Znalezienie ilorazu ciągu

Z pierwszego warunku:
$$a_4 = a_1 \cdot q^3 = 8a_1$$

Dzieląc obie strony przez \(a_1\) (zakładając \(a_1 \neq 0\)):
$$q^3 = 8$$
$$q = 2$$

## Krok 3: Znalezienie pierwszego wyrazu

Z drugiego warunku:
$$a_2 = a_1 \cdot q = 6$$

Podstawiając \(q = 2\):
$$a_1 \cdot 2 = 6$$
$$a_1 = 3$$

## Krok 4: Zapisanie wzoru ogólnego

Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu:
$$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$$

## Krok 5: Znalezienie najmniejszego \(k\) takiego, że \(a_k > 100\)

Musimy rozwiązać nierówność:
$$3 \cdot 2^{k-1} > 100$$
$$2^{k-1} > \frac{100}{3}$$
$$2^{k-1} > 33{,}333...$$

Obliczamy kolejne potęgi dwójki:
- \(2^5 = 32  33{,}33...\)

Zatem:
$$k - 1 \geq 6$$
$$k \geq 7$$

## Krok 6: Weryfikacja

Sprawdzamy:
$$a_6 = 3 \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96  100$$

## Odpowiedź

Najmniejsza liczba naturalna \(k\) taka, że \(a_k > 100\) to **\(k = 7\)**.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp