---
route: /task/cke-2015-2023-pp-51
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-51
source: CKE 2015-2023 PP
category: Funkcja kwadratowa
points: 2
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-51

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Funkcja kwadratowa \(f\) przyjmuje w przedziale \(\langle 0,3\rangle \) największą wartość dla argumentów \(0\) i \(3\). Uzasadnij, że w przedziale \(\langle -2,5\rangle \) funkcja \(f\) przyjmuje największą wartość dla argumentów \(-2\) i \(5\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Wykazano, że największa wartość jest dla argumentów \(-2\) i \(5\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

Analizuje się własności funkcji kwadratowej na podstawie danych informacji.

## Analiza warunku początkowego

Funkcja kwadratowa \(f\) przyjmuje w przedziale \(\langle 0,3\rangle\) największą wartość dla argumentów \(0\) i \(3\).

Ponieważ największa wartość jest osiągana w **dwóch różnych punktach** przedziału, to:
- Wartość ta jest osiągana na **brzegach przedziału**: \(f(0) = f(3)\)
- Maximum nie leży wewnątrz przedziału \(\langle 0,3\rangle\)

## Wyznaczenie osi symetrii

Skoro \(f(0) = f(3)\) i \(f\) jest funkcją kwadratową, to punkty \(x = 0\) i \(x = 3\) są **równoodległe od osi symetrii** paraboli.

Oś symetrii:
$$x_w = \frac{0 + 3}{2} = \frac{3}{2}$$

## Określenie kształtu paraboli

Ponieważ na brzegach przedziału \(\langle 0,3\rangle\) funkcja przyjmuje wartość największą (w tym przedziale), a oś symetrii \(x_w = \frac{3}{2}\) leży wewnątrz przedziału, to:

- Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie \(x_w = \frac{3}{2}\)
- W tym punkcie funkcja przyjmuje wartość **najmniejszą** (w przedziale \(\langle 0,3\rangle\))
- Ramiona paraboli są skierowane **do góry** (czyli \(a > 0\))

## Analiza przedziału \(\langle -2, 5\rangle\)

Oś symetrii \(x_w = \frac{3}{2}\) dzieli przedział \(\langle -2, 5\rangle\).

Sprawdza się odległości brzegów od osi symetrii:
- Odległość \(x = -2\) od osi: $$\left|-2 - \frac{3}{2}\right| = \left|-\frac{7}{2}\right| = \frac{7}{2}$$

- Odległość \(x = 5\) od osi: $$\left|5 - \frac{3}{2}\right| = \frac{7}{2}$$

## Wniosek

Punkty \(x = -2\) i \(x = 5\) są **równoodległe od osi symetrii** paraboli, więc:
$$f(-2) = f(5)$$

Ponieważ:
- Parabola ma ramiona skierowane do góry
- Wierzchołek (minimum) znajduje się w \(x_w = \frac{3}{2} \in \langle -2, 5\rangle\)
- Punkty \(-2\) i \(5\) to brzegi przedziału, najdalej oddalone od wierzchołka

To właśnie w punktach \(x = -2\) i \(x = 5\) funkcja \(f\) przyjmuje **największą wartość** w przedziale \(\langle -2, 5\rangle\).

**Uzasadnienie jest kompletne.**

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp